Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Признаки сходимости числовых рядов: необходимый признак, признаки сравнения, Коши (радикальный и интегральный) и Д'Аламбера. Нахождение суммы ряда. Область сходимости функционального ряда. Ряды Тейлора и Фурье. Применение рядов для приближённых вычислений.
Мальков_Григорий
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 28 май 2018, 02:29

Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Сообщение Мальков_Григорий » 28 май 2018, 03:34

Уважаемые математики. По определению сходимости ряда надо найти его частичную сумму. Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так. Как работать с дробными пределами - не знаю. Возможны ли вообще такие пределы? Или я неправильно их посчитал? Что делать дальше я знаю.
\( S_n=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+12)(2k+13)}=\sum \limits_{k=1}^{n} \left (\frac{1}{2k+12}-\frac{1}{2k+13}\right)\)
\(\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+13}=\sum \limits_{k=1,5}^{n+0,5} \frac{1}{2k+12}\)
Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1495
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Сообщение Добрый Волк » 28 май 2018, 09:57

Можете скинуть оригинальное условие примера?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Мальков_Григорий
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 28 май 2018, 02:29

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Сообщение Мальков_Григорий » 29 май 2018, 00:06

Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда:
\(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+12)(2n+13)}\)
Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1495
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Сообщение Добрый Волк » 29 май 2018, 07:59

Дело в том, что основная идея решения таких примеров заключается в сокращении слагаемых. Например, для ряда с общим членом \(u_n=\frac{1}{7n-13}-\frac{1}{7n+1}\) несложно прикинуть, когда же дроби вида \(\alpha(n_1)=\frac{1}{7n_1-13}\) станут равными дробям вида \(\beta(n_2)=\frac{1}{7n_2+1}\). Я специально обозначил номер \(n\) буквами \(n_1\) и \(n_2\), чтобы различать номера дробей вида \(\alpha\) и \(\beta\).

\(7n_1-13=7n_2+1\), \(n_1-n_2=2\).

Иными словами, когда разность между номерами данных дробей станет равна 2, дроби станут равными, а посему при записи частичной суммы ряда сократятся. Например, \(\alpha(4)=\beta(2)=\frac{1}{15}\), \(\alpha(3)=\beta(1)=\frac{1}{8}\) и так далее.

Вернёмся к вашему ряду, общий член которого имеет вид \(u_n=\frac{1}{2n+12}-\frac{1}{2n+13}\). Точно так же обозначая \(\alpha(n_1)=\frac{1}{2n_1+12}\) и \(\beta(n_2)=\frac{1}{2n_2+13}\), выясним, для каких же номеров будет выполнено равенство \(\alpha(n_1)=\beta(n_2)\):

\(2n_1+12=2n_2+13\), \(n_1-n_2=\frac{1}{2}\).

Разность двух натуральных чисел не может равняться \(\frac{1}{2}\), поэтому имеем вполне логичный вывод: метод сокращения слагаемых в вашем примере не сработает.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Мальков_Григорий
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 28 май 2018, 02:29

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Сообщение Мальков_Григорий » 29 май 2018, 13:38

Спасибо. Я изначально понимал, что метод сокращений здесь вряд ли сработает. Но преподаватель чётко обозначил способ проверки ряда на сходимость. То есть через определение сходимости решить это задание нельзя, потому что частичную сумму здесь вычислить невозможно. Я правильно понял?
Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1495
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Сообщение Добрый Волк » 29 май 2018, 22:58

Скажем так: сокращение слагаемых тут точно не пройдёт. Если вести речь о стандартном типовом расчёте, то я полагаю, что имеется ошибка условия.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Мальков_Григорий
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 28 май 2018, 02:29

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Сообщение Мальков_Григорий » 01 июн 2018, 00:10

Огромное вам спасибо, что помогли разобраться
Ответить

Вернуться в «Числовые и функциональные ряды»