Разложить по Маклорену до x^n

Признаки сходимости числовых рядов: необходимый признак, признаки сравнения, Коши (радикальный и интегральный) и Д'Аламбера. Нахождение суммы ряда. Область сходимости функционального ряда. Ряды Тейлора и Фурье. Применение рядов для приближённых вычислений.
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

Разложить по Маклорену до x^n

Сообщение 0201400 »

Разложить по Маклорену до \(x^n\)
\(f(x) = arth(x)\)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Разложить по Маклорену до x^n

Сообщение Добрый Волк »

Для разложения в ряд Маклорена найдём для начала производную заданной функции: \(y'=\frac{1}{1-x^2}\).

Выражение \(\frac{1}{1-x^2}\) есть сумма геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем \(x^2\), т.е.

\(\frac{1}{1-x^2}=1+x^2+x^4+x^6+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}\)

Полученное разложение верно в пределах \(|x|<1\).

Интегрируя полученное разложение в пределах от 0 до x, получим:

\(y=\int\limits_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}t^{2n}dt=\sum_{n=0}^{\infty}\int\limits_{0}^{x}t^{2n}dt=\sum_{n=0}^{\infty}\left. \frac{t^{2n+1}}{2n+1}\right|_{0}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Числовые и функциональные ряды»