Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Признаки сходимости числовых рядов. Сумма ряда. Область сходимости функционального ряда. Ряды Тейлора и Фурье. Применение рядов для приближённых вычислений.
Мальков_Григорий
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 28 май 2018, 02:29

Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Сообщение Мальков_Григорий »

Уважаемые математики. По определению сходимости ряда надо найти его частичную сумму. Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так. Как работать с дробными пределами - не знаю. Возможны ли вообще такие пределы? Или я неправильно их посчитал? Что делать дальше я знаю.
\( S_n=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+12)(2k+13)}=\sum \limits_{k=1}^{n} \left (\frac{1}{2k+12}-\frac{1}{2k+13}\right)\)
\(\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+13}=\sum \limits_{k=1,5}^{n+0,5} \frac{1}{2k+12}\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Сообщение Алексей »

Можете скинуть оригинальное условие примера?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Мальков_Григорий
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 28 май 2018, 02:29

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Сообщение Мальков_Григорий »

Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда:
\(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+12)(2n+13)}\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Сообщение Алексей »

Дело в том, что основная идея решения таких примеров заключается в сокращении слагаемых. Например, для ряда с общим членом \(u_n=\frac{1}{7n-13}-\frac{1}{7n+1}\) несложно прикинуть, когда же дроби вида \(\alpha(n_1)=\frac{1}{7n_1-13}\) станут равными дробям вида \(\beta(n_2)=\frac{1}{7n_2+1}\). Я специально обозначил номер \(n\) буквами \(n_1\) и \(n_2\), чтобы различать номера дробей вида \(\alpha\) и \(\beta\).

\(7n_1-13=7n_2+1\), \(n_1-n_2=2\).

Иными словами, когда разность между номерами данных дробей станет равна 2, дроби станут равными, а посему при записи частичной суммы ряда сократятся. Например, \(\alpha(4)=\beta(2)=\frac{1}{15}\), \(\alpha(3)=\beta(1)=\frac{1}{8}\) и так далее.

Вернёмся к вашему ряду, общий член которого имеет вид \(u_n=\frac{1}{2n+12}-\frac{1}{2n+13}\). Точно так же обозначая \(\alpha(n_1)=\frac{1}{2n_1+12}\) и \(\beta(n_2)=\frac{1}{2n_2+13}\), выясним, для каких же номеров будет выполнено равенство \(\alpha(n_1)=\beta(n_2)\):

\(2n_1+12=2n_2+13\), \(n_1-n_2=\frac{1}{2}\).

Разность двух натуральных чисел не может равняться \(\frac{1}{2}\), поэтому имеем вполне логичный вывод: метод сокращения слагаемых в вашем примере не сработает.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Мальков_Григорий
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 28 май 2018, 02:29

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Сообщение Мальков_Григорий »

Спасибо. Я изначально понимал, что метод сокращений здесь вряд ли сработает. Но преподаватель чётко обозначил способ проверки ряда на сходимость. То есть через определение сходимости решить это задание нельзя, потому что частичную сумму здесь вычислить невозможно. Я правильно понял?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Сообщение Алексей »

Скажем так: сокращение слагаемых тут точно не пройдёт. Если вести речь о стандартном типовом расчёте, то я полагаю, что имеется ошибка условия.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Мальков_Григорий
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 28 май 2018, 02:29

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Сообщение Мальков_Григорий »

Огромное вам спасибо, что помогли разобраться
Ответить