Страница 1 из 1

Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Добавлено: 28 май 2018, 03:34
Мальков_Григорий
Уважаемые математики. По определению сходимости ряда надо найти его частичную сумму. Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так. Как работать с дробными пределами - не знаю. Возможны ли вообще такие пределы? Или я неправильно их посчитал? Что делать дальше я знаю.
\( S_n=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+12)(2k+13)}=\sum \limits_{k=1}^{n} \left (\frac{1}{2k+12}-\frac{1}{2k+13}\right)\)
\(\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+13}=\sum \limits_{k=1,5}^{n+0,5} \frac{1}{2k+12}\)

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Добавлено: 28 май 2018, 09:57
Алексей
Можете скинуть оригинальное условие примера?

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Добавлено: 29 май 2018, 00:06
Мальков_Григорий
Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда:
\(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+12)(2n+13)}\)

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Добавлено: 29 май 2018, 07:59
Алексей
Дело в том, что основная идея решения таких примеров заключается в сокращении слагаемых. Например, для ряда с общим членом \(u_n=\frac{1}{7n-13}-\frac{1}{7n+1}\) несложно прикинуть, когда же дроби вида \(\alpha(n_1)=\frac{1}{7n_1-13}\) станут равными дробям вида \(\beta(n_2)=\frac{1}{7n_2+1}\). Я специально обозначил номер \(n\) буквами \(n_1\) и \(n_2\), чтобы различать номера дробей вида \(\alpha\) и \(\beta\).

\(7n_1-13=7n_2+1\), \(n_1-n_2=2\).

Иными словами, когда разность между номерами данных дробей станет равна 2, дроби станут равными, а посему при записи частичной суммы ряда сократятся. Например, \(\alpha(4)=\beta(2)=\frac{1}{15}\), \(\alpha(3)=\beta(1)=\frac{1}{8}\) и так далее.

Вернёмся к вашему ряду, общий член которого имеет вид \(u_n=\frac{1}{2n+12}-\frac{1}{2n+13}\). Точно так же обозначая \(\alpha(n_1)=\frac{1}{2n_1+12}\) и \(\beta(n_2)=\frac{1}{2n_2+13}\), выясним, для каких же номеров будет выполнено равенство \(\alpha(n_1)=\beta(n_2)\):

\(2n_1+12=2n_2+13\), \(n_1-n_2=\frac{1}{2}\).

Разность двух натуральных чисел не может равняться \(\frac{1}{2}\), поэтому имеем вполне логичный вывод: метод сокращения слагаемых в вашем примере не сработает.

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Добавлено: 29 май 2018, 13:38
Мальков_Григорий
Спасибо. Я изначально понимал, что метод сокращений здесь вряд ли сработает. Но преподаватель чётко обозначил способ проверки ряда на сходимость. То есть через определение сходимости решить это задание нельзя, потому что частичную сумму здесь вычислить невозможно. Я правильно понял?

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Добавлено: 29 май 2018, 22:58
Алексей
Скажем так: сокращение слагаемых тут точно не пройдёт. Если вести речь о стандартном типовом расчёте, то я полагаю, что имеется ошибка условия.

Re: Исследовать ряд на сходимость по определению сходимости ряда

Добавлено: 01 июн 2018, 00:10
Мальков_Григорий
Огромное вам спасибо, что помогли разобраться