Еще один ряд

Признаки сходимости числовых рядов: необходимый признак, признаки сравнения, Коши (радикальный и интегральный) и Д'Аламбера. Нахождение суммы ряда. Область сходимости функционального ряда. Ряды Тейлора и Фурье. Применение рядов для приближённых вычислений.
Vasilij
Сообщения: 15
Зарегистрирован: 06 фев 2014, 10:32

Еще один ряд

Сообщение Vasilij »

Спасибо за предыдущую тему, более-менее разобрался. А как быть с таким рядом: \(u_n=\frac{3^n}{n!}\)? Чем его исследовать?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Еще один ряд

Сообщение Добрый Волк »

Этот ряд исследуется с помощью признака Д'Аламбера. Так как \(u_n=\frac{3^n}{n!}\), то \(u_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\). Теперь нужно найти \(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Vasilij
Сообщения: 15
Зарегистрирован: 06 фев 2014, 10:32

Re: Еще один ряд

Сообщение Vasilij »

Что-то не выходит у меня с этим пределом...

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Еще один ряд

Сообщение Добрый Волк »

Ну, тогда давайте чуток подробнее. Нам нужно найти \(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}\), причём \(u_n=\frac{3^n}{n!}\), а \(u_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\). Немного детальнее поговорим о \(u_{n+1}\).

Во-первых, \(3^{n+1}=3^n\cdot 3^1=3\cdot 3^n\). Во-вторых, коснёмся вопроса с факториалом. Согласно определению, \(n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot\ldots\cdot n\). Например, \(3!=1\cdot 2 \cdot 3=6\). Тогда \((n+1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n\cdot (n+1)=n!\cdot (n+1)\). Теперь \(u_{n+1}\) можно представить в несколько иной форме:

\(u_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{3\cdot 3^n}{n!\cdot (n+1)}\)

Тогда отношение \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) станет таким:

\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3\cdot 3^n}{n!\cdot (n+1)}:\frac{3^n}{n!}=\frac{3\cdot 3^n}{n!\cdot (n+1)}\cdot\frac{n!}{3^n}=\frac{3}{n+1}\)

Обратимся к пределу:

\(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1}=0\).

Так как \(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}<1\), то согласно признаку Д'Аламбера данный знакопостоянный ряд сходится.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Vasilij
Сообщения: 15
Зарегистрирован: 06 фев 2014, 10:32

Re: Еще один ряд

Сообщение Vasilij »

Спасибо :) А если у меня ряд \(\frac{2^n*n}{5^n}\), то можно его тоже проверить этим признаком?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Еще один ряд

Сообщение Добрый Волк »

Да, признак Д'Аламбера тут вполне подходит.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Числовые и функциональные ряды»