Интеграл Берман №1790

Нахождение неопределённых интегралов. Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и объёмов тел. Несобственные интегралы.
Аватара пользователя
Paladin
Сообщения: 10
Зарегистрирован: 02 фев 2014, 12:43

Интеграл Берман №1790

Сообщение Paladin »

Здрасте ещё раз я снова с домашкой :) Вроде легкие сделал но есть два примера где нужна помощь :)

\(x^4/(x^2+1)\)

\(cos^3x/sin^4x\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Два интеграла

Сообщение Алексей »

Посмотрим, поможем :) Кстати, это задачи из Бермана. Первая №1790, а вторая - №1823. Давайте их разделим на две темы, ок?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Paladin
Сообщения: 10
Зарегистрирован: 02 фев 2014, 12:43

Re: Два интеграла

Сообщение Paladin »

Добрый Волк писал(а):Посмотрим, поможем :) Кстати, это задачи из Бермана. Первая №1790, а вторая - №1823. Давайте их разделим на две темы, ок?
Не против разделяйте.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Интеграл Берман №1790

Сообщение Алексей »

Переименовал тему. Тут разберёмся с первым интегралом, потом к второму перейдём. Вообще, интегралы вроде заданного \(\int\frac{x^4dx}{x^2+1}\) решаются с помощью разложения на элементарные дроби. Можете глянуть раздел по интегрированию дробей, но это сейчас необязательно. Эту тему вы на парах еще будете разбирать в дальнейшем.

Пока что ваша цель - свести данный интеграл к табличным с помощью каких-то преобразований, не включающих в себя специальные методы. Одно из таки преобразований (довольно часто применяется, кстати) - это вычесть и прибавить в числителе некое число. В нашем случае это число - единица (сейчас будет видно, почему это так):

\(\frac{x^4}{x^2+1}=\frac{x^4-1+1}{x^2+1}\)

Теперь учтем формулу \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Т.е., мы имеем \(x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2-1)(x^2+1)\). Тогда дробь, которую мы получили ранее, станет такой:


\(\frac{x^4-1+1}{x^2+1}=\frac{(x^2-1)(x^2+1)+1}{x^2+1}\)

Дальше попробуйте разбить одну дробь на две и сократить первую дробь.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Paladin
Сообщения: 10
Зарегистрирован: 02 фев 2014, 12:43

Re: Интеграл Берман №1790

Сообщение Paladin »

вроде ниче так получается. \(x^2-1+1/(x^2+1)\). это же вроде табличные интегралы
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Интеграл Берман №1790

Сообщение Алексей »

Paladin писал(а):вроде ниче так получается. \(x^2-1+1/(x^2+1)\). это же вроде табличные интегралы
Естественно, в этом-то и смысл этих преобразований - свести интеграл к табличным :) Кстати, когда набираете дроби, попробуйте использовать команду \frac{числитель}{знаменатель}. А решение дальше уже просто, если вспомнить табличные формулы. Если хотите, можете разбить исходый интеграл на три, но это уже по желанию:

\(\int\frac{x^4dx}{x^2+1}=\int x^2 \; dx-\int 1\;dx+\int\frac{dx}{x^2+1}\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Paladin
Сообщения: 10
Зарегистрирован: 02 фев 2014, 12:43

Re: Интеграл Берман №1790

Сообщение Paladin »

отлично с этим интегралом норм. А дробь я хотел сделать в редакторе но он не работает.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Интеграл Берман №1790

Сообщение Алексей »

Paladin писал(а):отлично с этим интегралом норм. А дробь я хотел сделать в редакторе но он не работает.
Да, с редактором действительно проблемы... Я встраивал этот редактор просто для визуализации набора формул, т.е., даже если он перестанет работать, формулы отображаться всё равно будут. Спасибо, что обратили внимание на работу редактора, т.к. я сам им практически не пользуюсь, но начинающим он нужен. Ну, если не заработает через день, задействую другой :) Пока что попробуйте этот редактор.
А для второго интеграла можете создавать отдельную тему, там и продолжим.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Paladin
Сообщения: 10
Зарегистрирован: 02 фев 2014, 12:43

Re: Интеграл Берман №1790

Сообщение Paladin »

Ок, сейчас создам
Ответить