Помогите решить интеграл

Нахождение неопределённых интегралов. Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и объёмов тел. Несобственные интегралы.
Просто А

Помогите решить интеграл

Сообщение Просто А »

Помогите, пожалуйста, решить интеграл \(\int \left ( 1+x-\frac{1}{x} \right )\cdot e^{x+\frac{1}{x}} dx\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Помогите решить интеграл

Сообщение Алексей »

Интеграл интересный, конечно :)

\(
\int\left(1+x-\frac{1}{x}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx
=\int{e^{x+\frac{1}{x}}}dx+\int\left(x\cdot\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx
\)

Во втором интеграле применяем метод интегрирования по частям, при этом

\(
u=x;\;du=dx;\\
dv=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx=e^{x+\frac{1}{x}}d\left(x+\frac{1}{x}\right);\;v=e^{x+\frac{1}{x}}
\)

Возвращаясь к предыдущему равенству, будем иметь:

\(
\int\left(1+x-\frac{1}{x}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx
=\int{e^{x+\frac{1}{x}}}dx+xe^{x+\frac{1}{x}}-\int{e^{x+\frac{1}{x}}}dx
=xe^{x+\frac{1}{x}}+C
\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить