Помогите решить интеграл

Нахождение неопределённых интегралов. Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и объёмов тел. Несобственные интегралы.
Павлик

Помогите решить интеграл

Сообщение Павлик »

(4(1-x)^(0.5)-(3x+1)^(0.5))/(((3x+1)^(0.5)+4(1-x)^(0.5))(3x+1)^2). Намучался с ним, смог привести к триганометрии, но там слишком проблематично.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Помогите решить интеграл

Сообщение Алексей »

Я верно понимаю, условие примера такое?

\(\int\frac{4\sqrt{1-x}-\sqrt{3x+1}}{\left(\sqrt{3x+1}+4\sqrt{1-x}\right)\cdot(3x+1)^2}dx\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Помогите решить интеграл

Сообщение Алексей »

Тогда тригонометрия тут не понадобится. Я поначалу подумал, что неплохо бы домножить дробь на выражение, сопряженное к знаменателю (т.е. на \(\sqrt{3x-1}-4\sqrt{1-x}\)), чтобы убрать иррациональность в знаменателе, но проще пойти стандартным путём. Разделив числитель и знаменатель подынтегральной дроби на \(\sqrt{3x+1}\), получим:

\(
\frac{4\sqrt{1-x}-\sqrt{3x+1}}{\left(\sqrt{3x+1}+4\sqrt{1-x}\right)\cdot(3x+1)^2}
=\frac{4\cdot\sqrt{\frac{1-x}{3x+1}}-1}{\left(1+4\cdot\sqrt{\frac{1-x}{3x+1}}\right)\cdot(3x+1)^2}
\)

Далее делаем простую замену \(t=\sqrt{\frac{1-x}{3x+1}}\), для которой получим:

\(t^2=\frac{1-x}{3x+1};\;x=\frac{1-t^2}{3t^2+1};\;dx=\frac{-8tdt}{\left(3t^2+1\right)^2}.\)

Подставляя это в исходный интеграл, получим следующее:

\(
\int\frac{4\cdot\sqrt{\frac{1-x}{3x+1}}-1}{\left(1+4\cdot\sqrt{\frac{1-x}{3x+1}}\right)\cdot(3x+1)^2}dx
=\int\frac{4t-1}{\left(1+4t\right)\cdot\left(3\cdot\frac{1-t^2}{3t^2+1}+1\right)^2}\cdot\frac{-8tdt}{\left(3t^2+1\right)^2}
=\int\frac{t-4t^2}{8t+2}dt
\)

Дальнейшее решение интереса не представляет. Разумеется, эти выкладки нужно проверить.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Павлик

Re: Помогите решить интеграл

Сообщение Павлик »

Спасибо большое, а ларчик, как говорится, просто открывался
Ответить