В первом интеграле я бы сделал чуток иную замену. Я бы взял
\(t=1+3^x\), тогда
\(dt=3^x\ln{3}dx\), откуда имеем
\(3^xdx=\frac{1}{\ln{3}}dt\). И интеграл тогда станет таким:
\(
\int\frac{3^xdx}{\sqrt{3^x+1}}
=\frac{1}{\ln{3}}\int\frac{dt}{\sqrt{t}}
\)
Что касается второго интеграла, то тут необходимо разложить дробь на элементарные, а потом уже интегрировать:
\(
\frac{1}{x(x+1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}
\)
Как найти параметры A, B, C смотрите вторую часть
примера №4. Там получается разложение почти такой же дроби, как и у вас. Можно пойти и не совсем стандартным путём:
\(
\frac{1}{x(x+1)^2}
=\frac{x+1-x}{x(x+1)^2}
=\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{(x+1)^2}=\\
=\frac{x+1-x}{x(x+1)}-\frac{1}{(x+1)^2}
=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}
\)
Какой метод избрать - решайте сами
Отмечу, что скорее всего, ваш преподаватель ожидает от вас именно решение стандартным способом, с определением коэффициентов A, B, C.