dx/x^4+1

Нахождение неопределённых интегралов. Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и объёмов тел. Несобственные интегралы.
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

dx/x^4+1

Сообщение 0201400 »

\(\int \frac{dx}{x^4+1}=\int \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^2+x\sqrt{2}+1}-\int \frac{-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^2-x\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{(x+\frac{1}{\sqrt{2}})dx}{(x+\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}} - \frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{(x-\frac{1}{\sqrt{2}})dx}{(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}}\)

Кое-где \(dx\) пропустил. Это фрагмент решения интеграла, всё решение сюда вписывать лень, но вот по поводу того, что получается после второго равно есть сомнения. Прошу проверить.

Кратко о том, как это получилось: сначала - метод неопределенных коэфициентов, далее выделение полного квадрата и вынесение константы из-под интеграла.

Вопрос потому, что вот на этой картинке получается 4 слагаемых:
Изображение
Не понимаю как это получается
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: dx/x^4+1

Сообщение Алексей »

Узнаю этот скан. Похоже, из китайского решебника к Демидовичу :) Ваш пример очень хорошо решён и пояснён у Фихтенгольца. Скачайте второй том, и на странице 53 решение этого примера полностью объяснено, - подробнее, чем у китайцев :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

Re: dx/x^4+1

Сообщение 0201400 »

Спасибо, да это китайский решебник. Вообще говоря, этот пример -- только часть решения. Исходный интеграл разбился на три. Это был один из них.
А вот ещё:

\(\int \frac{dt}{(t^2-\sqrt{2}t +1)^2}\)
\(\int \frac{dt}{(t^2+\sqrt{2}t +1)^2}\)

Решить их не получилось, были попытки, но проверка показывала, что я ошибался :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: dx/x^4+1

Сообщение Алексей »

А каков исходный интеграл?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

Re: dx/x^4+1

Сообщение 0201400 »

Исходный \(\int \frac{dx}{\sqrt[4]{x^3(a-x)}} (a>0)\)

Судя по ответу, нужно делать замену \(t=\sqrt[4]{\frac{a-x}{x}}\) и у меня там получается \(-4a\int \frac{t^2}{(t^4+1)^2}dt\) и дальше \(-4a\int (\frac{t}{t^4+1})^2dt\) и дальше всё я выше изложил почти
Последний раз редактировалось 0201400 23 мар 2014, 14:12, всего редактировалось 3 раза.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: dx/x^4+1

Сообщение Алексей »

Тут работают обычные подстановки Чебышева. Данный интеграл представим в таком виде: \(\int x^{-\frac{3}{4}}(a+(-1)x)^{-\frac{1}{4}}dx\). Попробуйте сделать подстановку, но что получится после её применения, сейчас попробую уточнить.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: dx/x^4+1

Сообщение Алексей »

Вроде прикинул, что тут выходит. Замена \(ax^{-1}-1=t^4\), откуда \(x=\frac{a}{t^4+1}\), \(dx=\frac{-4at^3dt}{(t^4+1)^2}\).

\(a-x=a-\frac{a}{t^4+1}=\frac{at^4}{t^4+1}\);

\(x^{-\frac{3}{4}}(a-x)^{-\frac{1}{4}}=a^{-\frac{3}{4}}\cdot (t^4+1)^{\frac{3}{4}}\cdot a^{-\frac{1}{4}}\cdot t^{-1}\cdot (t^4+1)^{\frac{1}{4}}=a^{-1}\cdot \frac{t^4+1}{t}\).

\(\int x^{-\frac{3}{4}}(a-x)^{-\frac{1}{4}}dx=\int a^{-1}\cdot \frac{t^4+1}{t}\cdot \frac{-4at^3dt}{(t^4+1)^2}=-4\int\frac{t^2dt}{t^4+1}.\)

А дальше уже можно применять схему интегрирования рациональных функций.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить