Интегральная сумма. Интеграл Римана

Нахождение неопределённых интегралов. Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и объёмов тел. Несобственные интегралы.
Adriana
Сообщения: 11
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Интегральная сумма. Интеграл Римана

Сообщение Adriana »

Помогите, пожалуйста, с примером
Просьба, пж полное решение! какое-то пояснение отрывками, которое мне дали, непонятно
Для данных функций f(x) найти нижнюю и верхнюю интегральные суммы на соответствующих сегментах, деля их на n равных частей, если:
а) \( f(x) = x^3 \) [-2;3]
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1594
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Интегральная сумма. Интеграл Римана

Сообщение Алексей »

Adriana писал(а): 07 апр 2021, 22:25 Помогите, пожалуйста, с примером
Просьба, пж полное решение!
Я не выкладываю полное решение. Если нечто неясно - задавайте вопросы, покажите свои варианты решения.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Adriana
Сообщения: 11
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Re: Интегральная сумма. Интеграл Римана

Сообщение Adriana »

Хорошо
Я, разбивая на n равных частей отрезок, получила \( h = \frac{5}{n} \)
Потом мне сказали, что предел нижней интегральной суммы \( m=-2+ih \), а верхней \( M=-2+(i+1)h \)
Не пойму, почему так?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1594
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Интегральная сумма. Интеграл Римана

Сообщение Алексей »

Мне кажется, что тут некое недопонимание. Предел интегральных сумм, хоть верхней, хоть нижней - равен определённому интегралу. В данном случае \(\frac{65}{4}\). Он не может равняться \(-2+ih\) или нечто в этом роде.


Вы разбили отрезок интегрирования на \(n\) равных частей, причём длина одной такой части равна \(\frac{5}{n}\). Т.е. вы получили разбиение отрезка \([-2;3]\) на \(n\) сегментов точками \(x_0\), \(x_1\),..., \(x_n\), где

\(
x_0=-2;\\
x_1=-2+\frac{5}{n};\\
x_2=-2+\frac{10}{n};\\
x_3=-2+\frac{15}{n};\\
\ldots\\
x_n=-2+\frac{5n}{n}=-2+5=3.
\)

В общем виде можем записать, что \(x_i=-2+\frac{5i}{n}\). Таким образом, мы получаем совокупность отрезков \([x_{i-1};x_i]\), где \(i=\overline{1,n}\).

Теперь на каждом из таких отрезков надо выбрать точку, в которой функция \(y=x^3\) принимает наибольшее и наименьшее значения. Подумайте вот о чём: заданная функция возрастает или убывает на своей области определения?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Adriana
Сообщения: 11
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Re: Интегральная сумма. Интеграл Римана

Сообщение Adriana »

В данном промежутке функция возрастает.
Получается, что \( m_i = -2+ih \) и \( M_i = -2+(i+1)h \) это наименьшее и наибольшее значения соответственно?
Adriana
Сообщения: 11
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Re: Интегральная сумма. Интеграл Римана

Сообщение Adriana »

И да, недопонимание действительно было, но сейчас я поняла откуда появляются эти выражения) спасибо
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1594
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Интегральная сумма. Интеграл Римана

Сообщение Алексей »

Adriana писал(а): 08 апр 2021, 00:07 В данном промежутке функция возрастает.
Получается, что \( m_i = -2+ih \) и \( M_i = -2+(i+1)h \) это наименьшее и наибольшее значения соответственно?
Нет. Смотрите: так как функция \(y=x^3\) возрастает на всей области определения, т.е. на \(R\), то она возрастает на каждом из промежутков \([x_{i-1};x_i]\). Это значит, что наименьшее значение функция будет принимать в точке \(x_{i-1}\), а наибольшее - в точке \(x_{i}\). Вот и рассчитайте значения функции в этих точках.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Adriana
Сообщения: 11
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Re: Интегральная сумма. Интеграл Римана

Сообщение Adriana »

А я понимала, что наименьшее значение это \( x_{i-1} \), а наибольшее \( x_i \) :) Наверное, точнее нужно было написать... Судя по предыдущим Вашим записям получается тогда, \( m = -2+(i-1)h \), а \( M = -2+ih \)?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1594
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Интегральная сумма. Интеграл Римана

Сообщение Алексей »

Adriana писал(а): 08 апр 2021, 19:29 А я понимала, что наименьшее значение это \( x_{i-1} \), а наибольшее \( x_i \) :) Наверное, точнее нужно было написать... Судя по предыдущим Вашим записям получается тогда, \( m = -2+(i-1)h \), а \( M = -2+ih \)?
Нет, этого не следует из моих записей. Я вообще не понимаю, зачем вам эти выражения. У вас есть функция \(f(x)=x^3\). Вам нужно найти значения функции на концах отрезка \([x_{i-1};x_i]\). Посмотрите, например, вот тут как найти значение функции при заданном значении аргумента.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Adriana
Сообщения: 11
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Re: Интегральная сумма. Интеграл Римана

Сообщение Adriana »

Мне нужно найти нижнюю и верхнюю интегральные суммы... Например, формула нижней: \( \Sigma _{i=1}^{n} (f(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})) = \Sigma_{i=1}^{n} ((-2+(i-1)h)^3 h)\) Так ведь правильно?
Думаю, я неправильно выразилась в записях, что x_i имела ввиду не наибольшее значение функции, а т.max...
Ответить