Исследовать на абсолютную и условную сходимость

Нахождение неопределённых интегралов. Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и объёмов тел. Несобственные интегралы.
Adriana
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Исследовать на абсолютную и условную сходимость

Сообщение Adriana »

Исследовать интеграл на сходимость
\(\int_{0}^{+\infty }\ln^{\alpha } (ch(x))\arcsin\frac{2x}{x^{2}+3} dx\)
Подскажите, пожалуйста, как действовать...
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1604
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость

Сообщение Алексей »

Ок, я попозже гляну. А откуда этот пример, из какого задачника?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Adriana
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость

Сообщение Adriana »

Ок, я попозже гляну.
Хорошо)
А откуда этот пример, из какого задачника?
Препод дал нам пару таких задач в качестве практики, но разбирать их с нами не намерен... :(
Откуда их берёт, не в курсе
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1604
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость

Сообщение Алексей »

Мне кажется, что логично разбить данный интеграл на два, так как при некоторых значениях \(\alpha\) получим функцию, неограниченную в правой окрестности нуля:

\(
f(x)=\ln^{\alpha}(\ch{x})\arcsin\frac{2x}{x^{2}+3};\\
\int\limits_{0}^{+\infty}f(x)dx
=\int\limits_{0}^{1}f(x)dx
+\int\limits_{1}^{+\infty}f(x)dx
\)

Далее составить эквивалентности для подынтегральной функции при условии \(x\to{0+0}\) и при условии \(x\to+\infty\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Adriana
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость

Сообщение Adriana »

Далее составить эквивалентности для подынтегральной функции при условии x→0+0 и при условии x→+∞.
При условии, что x→0+0 \(\arcsin (\frac{2x}{x^{2}+3}) \sim \frac{2x}{x^{2}+3}\) и \(\ch{x} \sim x\). Так ведь?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1604
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость

Сообщение Алексей »

Нет, гиперболический косинус не эквивалентен иксу. Посмотрите формулы Маклорена. Кроме того, для первого интеграла можно сразу отметить, что при \(\alpha\ge{0}\) интеграл становится собственным и, соответственно, сходится. Т.е. для первого интеграла остаётся рассмотреть случай \(\alpha\lt{0}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Adriana
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость

Сообщение Adriana »

Нет, гиперболический косинус не эквивалентен иксу.
Я это плохо понимаю, честно говоря, подумала о 2 вариантах... \(\cosh (x) \sim \frac{x^{2}}{2} + 1 \) или \(\cosh (x) \sim \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\) при \(x \rightarrow \infty \)
Имею ли я право так написать или такая запись не выдерживает никакой критики?))
Т.е. для первого интеграла остаётся рассмотреть случай \(\alpha\lt{0}\).
Думаю, и в этом случае интеграл сходится.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1604
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость

Сообщение Алексей »

Adriana писал(а): 25 апр 2021, 17:36 Имею ли я право так написать или такая запись не выдерживает никакой критики?))
Писать можно всё, что угодно, - иное дело, будет ли это верным.

Мы рассматриваем первый интеграл при \(\alpha\lt{0}\), для чего нам надо использовать эквивалентности. И я не совсем понимаю, откуда берутся эти "варианты", если можно просто загуглить и узнать, какова формула Маклорена для гиперболического косинуса. Исходя из этой формулы нужно получить формулу Маклорена для \(\ln\ch{x}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Adriana
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость

Сообщение Adriana »

И я не совсем понимаю, откуда берутся эти "варианты", если можно просто загуглить и узнать, какова формула Маклорена для гиперболического косинуса.
Если просто загуглить, выдаёт это: \(\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty } \frac{x^{2n}}{(2n)!}\)
Как мне это поможет в решении? Как мне это... подставлять потом в логарифм, да чтоб ещё и с логарифмом получать формулу Маклорена??
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1604
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать на абсолютную и условную сходимость

Сообщение Алексей »

Это вы записали ряд Маклорена. Я же говорил о формуле Маклорена. Согласно этой формуле мы получим, что \(\ch{x}=1+\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right)\). Это даёт нам возможность написать следующее:

\(
\ln\ch{x}
=\ln\left(1+\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right)\right)
\)

С другой стороны, мы знаем, что \(\ln(1+z)=z+o(z)\). Подставляя \(z=\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right)\), мы и получим формулу Маклорена для \(\ln\ch{x}\).

Кстати, на первой же странице гугла по запросу "формула Маклорена" есть прекрасная методичка от МФТИ. Советую выписать или распечатать формулы из пункта 1.3.4 (стр. 8-10), а также формулы из пункта 3.1. Отдельно желательно глянуть примеры 2.4 и 2.7 (два способа).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить