Несобственные интегралы

Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и обьёмов тел. Несобственные интегралы.
Annetta
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 25 мар 2014, 15:58

Несобственные интегралы

Сообщение Annetta »

Помогите пожалуйста разобраться с несобственными интегралами....я понимаю что это нес.интеграл 2 рода и что функция терпит бесконечный разрыв в точке x=a, но как это всё применить не очень понятно...
\(\int_{3}^{4}\frac{dx}{(x-3)^2}\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1584
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Несобственные интегралы

Сообщение Алексей »

Здесь нужно перейти к пределу. Давайте я сначала такой вопрос задам: вам знакомо понятие одностороннего предела? А потом перейдём к решению :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Annetta
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 25 мар 2014, 15:58

Re: Несобственные интегралы

Сообщение Annetta »

всё не настолько запущенно)) :roll: я понимаю, что такое пределы)) порой бывает не очень понятно как их подставлять при вычислении интегралов)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1584
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Несобственные интегралы

Сообщение Алексей »

Annetta писал(а):всё не настолько запущенно)) :roll: я понимаю, что такое пределы)) порой бывает не очень понятно как их подставлять при вычислении интегралов)
Нет-нет, я не к тому, что "запущено" :) Просто понятие одностороннего предела сейчас придётся использовать, причем речь пойдёт именно про односторонний предел. Мы ведь не можем просто так взять и подставить \(x=3\) в подынтегральную функцию, так? Мы можем лишь подходить к этой тройке, причем подходить справа. Оставаясь на малую долю больше трёх. Ради этой цели введем некую переменную \(\varepsilon\). Она и будет играть роль этой "малой доли". Т.е.,

\(\int\limits_{3}^{4}\frac{dx}{(x-3)^2}=\lim_{\varepsilon\to 0+0}\int\limits_{3+\varepsilon}^{4}\frac{dx}{(x-3)^2}\)

Заметьте, что \(\varepsilon\) стремится к нулю именно справа, т.е. подходит к нулю, оставаясь при этом больше нуля. Если тут все ясно, то пойдём дальше, если есть вопросы - прошу :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Annetta
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 25 мар 2014, 15:58

Re: Несобственные интегралы

Сообщение Annetta »

вопрос есть..не знаю как его правильно сформулировать только... в общем я понимаю, что подходим к тройке именно справа...но почему пишем, что ε стремится к 0+0... то есть если бы мы стремились к тройке слева было бы 0-0? я правильно поняла?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1584
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Несобственные интегралы

Сообщение Алексей »

Annetta писал(а):вопрос есть..не знаю как его правильно сформулировать только... в общем я понимаю, что подходим к тройке именно справа...но почему пишем, что ε стремится к 0+0... то есть если бы мы стремились к тройке слева было бы 0-0? я правильно поняла?
Вы совершенно правильно поняли :yes: Это просто форма записи такая. Некоторые авторы пишут \(x\to 0+0\), некоторые \(x\to 0+\), другие - \(x\to +0\) (но это очень редко). Как вам больше нравится.

Если хотите, я могу это показать на числах. Если это дело вопросов не вызывает - можем перейти к интегралу :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Annetta
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 25 мар 2014, 15:58

Re: Несобственные интегралы

Сообщение Annetta »

если несложно, покажите пожалуйста на числах) :yes: и можем переходить к интегралу)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1584
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Несобственные интегралы

Сообщение Алексей »

Ок. Походить к тройке можно с разных сторон. Можно так: 2,8; 2,995; 2,999999 и так далее. Замечаете, что мы всё время остаёмся меньше тройки. Это называется "стремиться к 3 слева" и записывается как \(x\to 3-0\).

Можно подходить к тройке и с иной стороны: 3,15; 3,098; 3,0001; 3,00000009 и так далее. Мы подходим к тройке, оставаясь всё время больше её. В этом случае говорят о "стремлении к 3 справа" и записывают \(x\to 3+0\).

В принципе, мы для вашего интеграла могли записать так:

\(\int\limits_{3}^{4}\frac{dx}{(x-3)^2}=\lim_{\varepsilon\to 3+0}\int\limits_{\varepsilon}^{4}\frac{dx}{(x-3)^2}\)

И это было бы совершенно верно. Но авторы учебников предпочитают вводить новую переменную, чтобы она стремилась к нулю. Именно поэтому я и ввел переменную \(\varepsilon \to 0+0\). Т.е., выражение \(3+\varepsilon\to 3+0\), т.е. и будет подходить к тройке справа.

\(\int\limits_{3}^{4}\frac{dx}{(x-3)^2}=\lim_{\varepsilon\to 0+0}\int\limits_{3+\varepsilon}^{4}\frac{dx}{(x-3)^2}\)

Еще раз подчеркну, что первое и второе равенства равносильны. Просто авторы книг предпочитают использовать второй вариант. Как-то так :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Annetta
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 25 мар 2014, 15:58

Re: Несобственные интегралы

Сообщение Annetta »

более-менее с этим разобралась, спасибо) можем идти дальше)
Annetta
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 25 мар 2014, 15:58

Re: Несобственные интегралы

Сообщение Annetta »

но вот такая запись мне больше понятна: ε стремится к 3+0
Ответить

Вернуться в «Определённые интегралы»