Исследовать сходимость интеграла.

Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и обьёмов тел. Несобственные интегралы.
lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Исследовать сходимость интеграла.

Сообщение lecture »

Задача: исследовать сходимость интеграла
∫(вверх.∞, нижн.0) e^(-4x) dx

Что с ним нужно делать?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать сходимость интеграла.

Сообщение Добрый Волк »

Для начала стоит обозначить верхний предел интегрирования некоей буквой (например, b) и перейти к пределу:

\(\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-4x}dx=\lim_{b\to +\infty}\int\limits_{0}^{b}e^{-4x}dx.\)

А дальше вносите под дифференциал число (-4) (соответственно дробь \(-\frac{1}{4}\) выйдет за знак интеграла) и получите табличный интеграл.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Исследовать сходимость интеграла.

Сообщение lecture »

Нет, это я не решу.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать сходимость интеграла.

Сообщение Добрый Волк »

Да ладно :) Внести под дифференциал означает всего лишь, что мы домножаем выражение под дифференциалом на некое число. Хотим внести число (-4)? Ок, нет проблем - но для компенсации такого внесения дробь \(-\frac{1}{4}\) выйдет за знак интеграла (и за знак предела):

\(\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-4x}dx=\lim_{b\to +\infty}\int\limits_{0}^{b}e^{-4x}dx=-\frac{1}{4}\lim_{b\to +\infty}\int\limits_{0}^{b}e^{-4x}d(-4x)\)

А дальше есть формула: \(\int e^udu=e^u+C\). Только у вас вместо u стоит \(-4x\). Ну, и константы \(C\) не будет, так как интеграл определённый. Иными словами:

\(-\frac{1}{4}\lim_{b\to +\infty}\int\limits_{0}^{b}e^{-4x}d(-4x)=-\frac{1}{4}\lim_{b\to +\infty}\left.e^{-4x}\right|_{0}^{b}=\ldots\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Исследовать сходимость интеграла.

Сообщение lecture »

Озарения не произошло... :mrgreen:

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать сходимость интеграла.

Сообщение Добрый Волк »

Сейчас произойдёт :) Запись \(\left.e^{-4x}\right|_{0}^{b}\) означает, что мы вместо x подставили \(b\), потом вместо \(x\) подставили 0 и вычли:

\(\left.e^{-4x}\right|_{0}^{b}=e^{-4b}-e^{-4\cdot 0}=e^{-4b}-1.\)

Отрицательная степень означает опускание в знаменатель, поэтому полученный результат можно записать так:

\(\left.e^{-4x}\right|_{0}^{b}=\frac{1}{e^{4b}}-1.\)

Вернёмся к пределу:

\(-\frac{1}{4}\lim_{b\to +\infty}\left.e^{-4x}\right|_{0}^{b}=-\frac{1}{4}\lim_{b\to +\infty}\left(\frac{1}{e^{4b}}-1\right)\)

Теперь самый главный вопрос: если \(b\to +\infty\), то \(e^{4b}\to +\infty\). Так как знаменатель дроби \(\frac{1}{e^{4b}}\) стремится в бесконечность, то к чему устремится сама дробь?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Исследовать сходимость интеграла.

Сообщение lecture »

То дробь \(\frac{1}{e^{4b}}\rightarrow +\)
Смею предположить, что тогда 1/∞=0.
Соответственно -1/4 lim(b→∞)(0-1)
--------------------------------------------------------------------
Не могу в редакторе формул набрать бесконечность....

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать сходимость интеграла.

Сообщение Добрый Волк »

lecture писал(а):То дробь \(\frac{1}{e^{4b}}\rightarrow +\)
Смею предположить, что тогда 1/∞=0.
Соответственно -1/4 lim(b→∞)(0-1)
--------------------------------------------------------------------
Не могу в редакторе формул набрать бесконечность....
Как-то немного противоречиво, хотя в целом мысль в верном направлении :) Это не дробь \(\frac{1}{e^{4b}}\) стремится к бесконечности, это знаменатель её, т.е. \(e^{4b}\) стремится к бесконечности. А сама дробь, как вы верно предположили, будет стремиться к нулю. И предел тоже верно записали, только знак предела можно уже убрать:

\(-\frac{1}{4}\lim_{b\to +\infty}\left(\frac{1}{e^{4b}}-1\right)=-\frac{1}{4}\cdot\left(0-1\right)=\frac{1}{4}.\)

Мы получили конечное число, т.е. заданный интеграл сходится.

Насчет набора знака "бесконечность": он вводится с помощью команды \infty. Например, результатом такого ввода:

Код: Выделить всё

[tex]x\to\infty[/tex]


будет формула

\(x\to\infty\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

lecture
Сообщения: 29
Зарегистрирован: 03 окт 2014, 15:30

Re: Исследовать сходимость интеграла.

Сообщение lecture »

Спасибо.

Ответить

Вернуться в «Определённые интегралы»