Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка

Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и обьёмов тел. Несобственные интегралы.
Аватара пользователя
LadyNastena
Сообщения: 6
Зарегистрирован: 10 фев 2014, 02:10

Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка

Сообщение LadyNastena »

здравствуйте. у меня вопрос с интегралом, поможете? 1/(5+4sinx+3cosx)

интеграл от 0 до пи/2

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Интеграл

Сообщение Добрый Волк »

Поможем :) На самом деле этот интеграл очень прост, - он только кажется громоздким. Здесь применяется универсальная тригонометрическая подстановка, т.е. \(t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}\).

Синус и косинус будут заменены следующим образом: \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\). Ну, и \(dx\) станет таким: \(dx=\frac{2dt}{t^2+1}\).

Но просто так подставить эти выражения в ваш интеграл недостаточно. Есть ещё пределы интегрирования, которые нужно изменить. У вас \(x\) изменяется от \(0\) до \(\frac{\pi}{2}\). Вопрос в следующем: как будет изменяться новая переменная \(t\) ?

Мы приняли \(t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}\), поэтому если \(x=0\), то \(t=\mathrm{tg}\frac{0}{2}=\mathrm{tg}0=0\). Если же \(x=\frac{\pi}{2}\), то \(t=\mathrm{tg}\frac{\frac{\pi}{2}}{2}=\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}=1\). Итак, \(0\leqslant t\leqslant 1\). Вот теперь и преобразуйте исходный интеграл.

Кстати, хотел спросить. Извините за любопытство, но как вы нашли этот форум? :) И еще вопрос: вы не будете против, если я переименую тему таким образом: "Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка"?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
LadyNastena
Сообщения: 6
Зарегистрирован: 10 фев 2014, 02:10

Re: Интеграл

Сообщение LadyNastena »

Сделала. надеюсь вы сможете разобрать что я написала :)

1/(5+4*2t/(1+t^2)+3*(1-t^2)/(1+t^2))*2dt/(t^2+1)

Тему можно переименовать я не против. А форум я нашла по совету. вы подруге моей помогли :)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Интеграл

Сообщение Добрый Волк »

LadyNastena писал(а):Сделала. надеюсь вы сможете разобрать что я написала :)
Надеюсь, смогу :) Можете попробовать использовать кнопку "Запустить редактор формул", когда набираете формулу.

Итак, вы пришли к такому результату: \(\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{5+4\cdot\frac{2t}{1+t^2}+3\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2dt}{t^2+1}\). Теперь его нужно упростить. Для начала стоит записать всё в одну дробь:

\(\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{5+4\cdot\frac{2t}{1+t^2}+3\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2dt}{t^2+1}=\int\limits_{0}^{1}\frac{2dt}{\left( 5+4\cdot\frac{2t}{1+t^2}+3\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}\right)(t^2+1)}=\\

=\int\limits_{0}^{1}\frac{2dt}{5\cdot(t^2+1)+4\cdot\frac{2t}{1+t^2}\cdot(t^2+1)+3\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot (t^2+1)}\)


Ну, а дальнейшее сокращение - это уже на вас :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
LadyNastena
Сообщения: 6
Зарегистрирован: 10 фев 2014, 02:10

Re: Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка

Сообщение LadyNastena »

ну сократить я смогу :) 2dt/(2t^2+8t+8) вот :)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка

Сообщение Добрый Волк »

Если бы ещё чуть-чуть сократить, вообще хорошо получится. Я имею в виду разделить числитель и знаменатель на 2:

\(\int\limits_{0}^{1}\frac{2dt}{2t^2+8t+8}=\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{t^2+4t+4}\)

Теперь осталось дело за малым. Дело в том, что \(t^2+4t+4=t^2+2\cdot 2\cdot t+2^2=(t+2)^2\). Что это нам даёт? Исходный интеграл станет таким:

\(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dt}{t^2+4t+4}=\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{(t+2)^2}\)

Дальше попробуете сами или подсказать? :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"


Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка

Сообщение Добрый Волк »

Ну, тут есть несколько вариантов. Вариант первый, и, пожалуй, самый простой - использовать готовую формулу

\(\int\frac{A}{(x-a)^n}dx=-\frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}}+C\)

Вариант №2: использовать ту же формулу, но перед этим самостоятельно к ней прийти. Ваш выбор? :geek:
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
LadyNastena
Сообщения: 6
Зарегистрирован: 10 фев 2014, 02:10

Re: Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка

Сообщение LadyNastena »

выбираю готовую формулу :) хотя если покажете как прийти, я не против :)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка

Сообщение Добрый Волк »

Вы как-то уклончиво ответили :) Ладно, давайте эту формулу выведем. Для начала вспомним формулу №1 из таблицы интегралов. Я запишу её здесь: \(\int u^{\alpha}du=\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha +1}+C\).

Теперь вернёмся к нашему результату: \(\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{(t+2)^2}\). Так как \(d(t+2)=(t+2)'dt=dt\), то вместо \(dt\) мы смело можем написать \(d(t+2)\):

\(\int\limits_{0}^{1}\frac{d(t+2)}{(t+2)^2}\)

Теперь пойдём ещё дальше и учтём, что \(\frac{1}{(t+2)^2}=(t+2)^{-2}\). Тогда интеграл \(\int\limits_{0}^{1}\frac{d(t+2)}{(t+2)^2}\) примет вид:

\(\int\limits_{0}^{1}(t+2)^{-2}d(t+2)\)

И вот теперь представьте, что \(u=t+2\) и \(\alpha=-2\). Тогда:

\(\int\limits_{0}^{1}(t+2)^{-2}d(t+2)=\left.\frac{(t+2)^{-2+1}}{-2+1}\right|_{0}^{1}=\left.\frac{(t+2)^{-1}}{-1}\right|_{0}^{1}=\left.\frac{-1}{t+2}\right|_{0}^{1}\)

Ну, а теперь вам останется только подставить \(t=1\), потом \(t=0\) и вычесть.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Определённые интегралы»