Страница 1 из 2
Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка
Добавлено: 10 фев 2014, 02:18
LadyNastena
здравствуйте. у меня вопрос с интегралом, поможете? 1/(5+4sinx+3cosx)
интеграл от 0 до пи/2
Re: Интеграл
Добавлено: 10 фев 2014, 10:59
Алексей
Поможем
На самом деле этот интеграл очень прост, - он только кажется громоздким. Здесь применяется
универсальная тригонометрическая подстановка, т.е.
\(t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}\).
Синус и косинус будут заменены следующим образом:
\(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\),
\(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\). Ну, и
\(dx\) станет таким:
\(dx=\frac{2dt}{t^2+1}\).
Но просто так подставить эти выражения в ваш интеграл недостаточно. Есть ещё пределы интегрирования, которые нужно изменить. У вас
\(x\) изменяется от
\(0\) до
\(\frac{\pi}{2}\). Вопрос в следующем: как будет изменяться новая переменная
\(t\) ?
Мы приняли
\(t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}\), поэтому если
\(x=0\), то
\(t=\mathrm{tg}\frac{0}{2}=\mathrm{tg}0=0\). Если же
\(x=\frac{\pi}{2}\), то
\(t=\mathrm{tg}\frac{\frac{\pi}{2}}{2}=\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}=1\). Итак,
\(0\leqslant t\leqslant 1\). Вот теперь и преобразуйте исходный интеграл.
Кстати, хотел спросить. Извините за любопытство, но как вы нашли этот форум?
И еще вопрос: вы не будете против, если я переименую тему таким образом: "Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка"?
Re: Интеграл
Добавлено: 10 фев 2014, 12:11
LadyNastena
Сделала. надеюсь вы сможете разобрать что я написала
1/(5+4*2t/(1+t^2)+3*(1-t^2)/(1+t^2))*2dt/(t^2+1)
Тему можно переименовать я не против. А форум я нашла по совету. вы подруге моей помогли
Re: Интеграл
Добавлено: 10 фев 2014, 12:43
Алексей
LadyNastena писал(а):Сделала. надеюсь вы сможете разобрать что я написала
Надеюсь, смогу
Можете попробовать использовать кнопку "Запустить редактор формул", когда набираете формулу.
Итак, вы пришли к такому результату:
\(\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{5+4\cdot\frac{2t}{1+t^2}+3\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2dt}{t^2+1}\). Теперь его нужно упростить. Для начала стоит записать всё в одну дробь:
\(\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{5+4\cdot\frac{2t}{1+t^2}+3\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2dt}{t^2+1}=\int\limits_{0}^{1}\frac{2dt}{\left( 5+4\cdot\frac{2t}{1+t^2}+3\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}\right)(t^2+1)}=\\
=\int\limits_{0}^{1}\frac{2dt}{5\cdot(t^2+1)+4\cdot\frac{2t}{1+t^2}\cdot(t^2+1)+3\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot (t^2+1)}\)
Ну, а дальнейшее сокращение - это уже на вас
Re: Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка
Добавлено: 10 фев 2014, 15:05
LadyNastena
ну сократить я смогу
2dt/(2t^2+8t+8) вот
Re: Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка
Добавлено: 10 фев 2014, 17:33
Алексей
Если бы ещё чуть-чуть сократить, вообще хорошо получится. Я имею в виду разделить числитель и знаменатель на 2:
\(\int\limits_{0}^{1}\frac{2dt}{2t^2+8t+8}=\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{t^2+4t+4}\)
Теперь осталось дело за малым. Дело в том, что
\(t^2+4t+4=t^2+2\cdot 2\cdot t+2^2=(t+2)^2\). Что это нам даёт? Исходный интеграл станет таким:
\(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dt}{t^2+4t+4}=\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{(t+2)^2}\)
Дальше попробуете сами или подсказать?
Re: Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка
Добавлено: 10 фев 2014, 20:58
LadyNastena
лучше подскажите
Re: Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка
Добавлено: 10 фев 2014, 21:22
Алексей
Ну, тут есть несколько вариантов. Вариант первый, и, пожалуй, самый простой - использовать готовую формулу
\(\int\frac{A}{(x-a)^n}dx=-\frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}}+C\)
Вариант №2: использовать ту же формулу, но перед этим самостоятельно к ней прийти. Ваш выбор?
Re: Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка
Добавлено: 10 фев 2014, 22:51
LadyNastena
выбираю готовую формулу
хотя если покажете как прийти, я не против
Re: Интеграл. Универсальная тригонометрическая подстановка
Добавлено: 10 фев 2014, 23:46
Алексей
Вы как-то уклончиво ответили
Ладно, давайте эту формулу выведем. Для начала вспомним формулу №1 из
таблицы интегралов. Я запишу её здесь:
\(\int u^{\alpha}du=\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha +1}+C\).
Теперь вернёмся к нашему результату:
\(\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{(t+2)^2}\). Так как
\(d(t+2)=(t+2)'dt=dt\), то вместо
\(dt\) мы смело можем написать
\(d(t+2)\):
\(\int\limits_{0}^{1}\frac{d(t+2)}{(t+2)^2}\)
Теперь пойдём ещё дальше и учтём, что
\(\frac{1}{(t+2)^2}=(t+2)^{-2}\). Тогда интеграл
\(\int\limits_{0}^{1}\frac{d(t+2)}{(t+2)^2}\) примет вид:
\(\int\limits_{0}^{1}(t+2)^{-2}d(t+2)\)
И вот теперь представьте, что
\(u=t+2\) и
\(\alpha=-2\). Тогда:
\(\int\limits_{0}^{1}(t+2)^{-2}d(t+2)=\left.\frac{(t+2)^{-2+1}}{-2+1}\right|_{0}^{1}=\left.\frac{(t+2)^{-1}}{-1}\right|_{0}^{1}=\left.\frac{-1}{t+2}\right|_{0}^{1}\)
Ну, а теперь вам останется только подставить
\(t=1\), потом
\(t=0\) и вычесть.