Найти площадь

Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и обьёмов тел. Несобственные интегралы.
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Найти площадь

Сообщение Anuto4ka »

можете обьяснить как решаются задачи на площадь? У нас контрольная скоро :(
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1584
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти площадь

Сообщение Алексей »

А есть у вас образцы заданий, которые будут на контрольной?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: Найти площадь

Сообщение Anuto4ka »

Мы пример на паре разбирали. найти площадь y=x^2-2x-4 и y=2x+1 только не там непонятно :(
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1584
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти площадь

Сообщение Алексей »

Для начала нужно сделать чертёж. Чертёж схематический, т.е. точность тут особо не нужна. Важно отобразить взаимное расположение графиков и обозначить точки их пересечения. Для начала отмечу, что уравнение \(y=2x+1\) определяет прямую, а уравнение \(y=x^2-2x-4\) - параболу. Перед тем, как строить их графики, нужно найти точки, в которых эти графики пересекаются. Т.е. нужно найти общие точки, которые принадлежат графику параболы и графику прямой. Т.е., нужно найти такие значения \(x\) и \(y\), которые одновременно будут удовлетворять уравнению \(y=2x+1\) и \(y=x^2-2x-4\). Это означает, что нужно решить такую систему:

\(\left\{ \begin{aligned} & y=2x+1; \\ & y=x^2-2x-4. \end{aligned} \right.\)

Что мы видим из этой системы? А видим мы, что в левых частях первого и второго уравнения стоят одинаковые переменные (т.е. \(y\)). Если левые части уравнений равны, то будут равны и правые части, т.е. \(2x+1=x^2-2x-4\). Попробуйте теперь перенести всё в правую часть этого уравнения и решить его.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: Найти площадь

Сообщение Anuto4ka »

x^2-4x-5=0

x1=-1 x2=5

что дальше делаем? :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1584
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти площадь

Сообщение Алексей »

Дальше нужно построить графики. Для этого желательно помимо значений \(x\) найти еще и значения \(y\). Т.е., по сути, вы сейчас нашли две точки пересечения параболы и прямой: \((-1, y_1)\), \((5,y_2)\). Чтобы найти эти игреки, нужно подставить найденные значения \(x_1=-1; x_2=5\) в любое уравнение: параболы или прямой. Уравнение может быть любым, так как это общие точки данных графиков.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: Найти площадь

Сообщение Anuto4ka »

в прямую подставила. получается у1=-1 и у2=11
теперь их рисовать, так?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1584
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти площадь

Сообщение Алексей »

Типо того :) Сначала ставите на рисунке две найденные точки пересечения прямой и параболы. Через эти две точки можно сразу провести прямую. Потом схематически рисуете параболу. Если хотите, могу скинуть рисунок.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: Найти площадь

Сообщение Anuto4ka »

Скиньте пожалуйста. я нарисовала но сверить хочу
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1584
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти площадь

Сообщение Алексей »

Рисунок таков:

Отправка.png
Отправка.png (19.24 КБ) 2392 просмотра

Цветом выделена площадь, которую нужно найти. Сверху эту площадь ограничивает прямая \(y=2x+1\), а снизу - парабола \(y=x^2-2x-4\). Так как \(-1\leqslant x \leqslant 5\), то площадь будет выражена таким интегралом:

\(\int\limits_{-1}^{5}\left(2x+1-(x^2-2x-4)\right) dx=\int\limits_{-1}^{5}\left(-x^2+4x+5 \right) dx\)

Попробуете найти интеграл самостоятельно?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить

Вернуться в «Определённые интегралы»