Вычисление определённого интеграла

Нахождение неопределённых интегралов. Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и объёмов тел. Несобственные интегралы.
Adriana
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Вычисление определённого интеграла

Сообщение Adriana »

Вычислить интеграл \(\int_{0}^{\pi } e^{x}\cos ^{2} \left ( x \right ) dx\)
Проблема в нахождении первообразной...
Я начала вычисление, используя метод интегрирования по частям... и застряла на этом моменте:
\(\cos ^{2} \left ( x \right )e^{x} + \sin \left ( 2x \right )e^{x} - 2\cos \left ( 2x \right )e^{x} + 4 \int_{0}^{\pi } e^{x}\sin \left ( 2x \right ) dx\)
Подскажите, правильно ли я действую и что делать дальше...
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычисление определённого интеграла

Сообщение Алексей »

Мне трудно сказать, насколько верен ваш результат, так как я не вижу действий, которые привели к нему. В целом, особого смысла в рассмотрении неопределённого интеграла тут нет. Проще сразу работать в определённым интегралом.

Для начала учесть, что \(\cos^2{x}=\frac{1}{2}(1+\cos{2x})\). Используя это равенство, вы разобьёте интеграл на два, один из которых довольно банальный. Останется интеграл \(\int\limits_{0}^{\pi}e^x\cos{2x}\,dx\). Чтобы его найти, нужно дважды проинтегрировать по частям.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Adriana
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Re: Вычисление определённого интеграла

Сообщение Adriana »

Как я поняла, вы используете формулу понижения степени с косинусом...
Проинтегрировав дважды по частям, я прихожу к прошлому интегралу... :(
\(\int_{0}^{\pi} \cos \left ( 2x \right ) e^{x}dx = \cos \left ( 2x \right ) e^{x} + 2\int_{0}^{\pi} \sin \left ( 2x \right ) e^{x}dx = \cos \left ( 2x \right ) e^{x} + 2\sin \left ( 2x \right ) e^{x} - 4\int_{0}^{\pi} \cos \left ( 2x \right ) e^{x}dx\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычисление определённого интеграла

Сообщение Алексей »

Adriana писал(а): 20 апр 2021, 00:06 Как я поняла, вы используете формулу понижения степени с косинусом...
Вы правы, она и записана там в явном виде.

Adriana писал(а): 20 апр 2021, 00:06 Проинтегрировав дважды по частям, я прихожу к прошлому интегралу... :(
\(\int_{0}^{\pi} \cos \left ( 2x \right ) e^{x}dx = \cos \left ( 2x \right ) e^{x} + 2\int_{0}^{\pi} \sin \left ( 2x \right ) e^{x}dx = \cos \left ( 2x \right ) e^{x} + 2\sin \left ( 2x \right ) e^{x} - 4\int_{0}^{\pi} \cos \left ( 2x \right ) e^{x}dx\)
Да, вы должны прийти к исходному интегралу, получив уравнение с ним. Иной вопрос - откуда вообще у вас при интегрировании по частям определённого интеграла появились слагаемые \(e^{2x}\cos{2x}\) и т.д. Их там явно быть не должно - посмотрите формулу интегрирования по частям для определённого интеграла.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Adriana
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Re: Вычисление определённого интеграла

Сообщение Adriana »

Да, вы должны прийти к исходному интегралу, получив уравнение с ним.
Не поняла, как получить уравнение с интегралом?
Иной вопрос - откуда вообще у вас при интегрировании по частям определённого интеграла появились слагаемые \(e^{2x}\cos{2x}\) и т.д
Это да, я не дорешала...
Получается, \(e^{\pi} - 1 - 4\int_{0}^{\pi} \cos \left ( 2x \right ) e^{x}dx\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычисление определённого интеграла

Сообщение Алексей »

Adriana писал(а): 20 апр 2021, 16:37 Не поняла, как получить уравнение с интегралом?
По сути, вы его уже получили, когда пришли к такому равенству:

\(
\int\limits_{0}^{\pi}e^x\cos{2x}\,dx
=e^{\pi}-1-4\int\limits_{0}^{\pi}e^x\cos{2x}\,dx
\)

Перенося слагаемое \(-4\int\limits_{0}^{\pi}e^x\cos{2x}\,dx\) в левую часть равенства и деля обе части равенства на 5, вы и получите искомое значение интеграла.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Adriana
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Re: Вычисление определённого интеграла

Сообщение Adriana »

Разобралась, спасибо за помощь, ответ совпал \(\frac{3(e^{\pi}-1)}{5}\)
Ответить