вычислить интеграл, используя замену переменных

Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и обьёмов тел. Несобственные интегралы.
Annetta
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 25 мар 2014, 15:58

вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Annetta »

вычислить интеграл \(\int\limits_{\pi}^{2\pi}\cos(x+5)dx\), используя замену переменных.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Добрый Волк »

Вы не будете возражать, если я подкорректирую картинку, набрав ее в виде такой вот формулы: \(\int\limits_{\pi}^{2\pi}\cos(x+5)dx\)?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Annetta
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 25 мар 2014, 15:58

Re: вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Annetta »

конечно корректируйте!))

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Добрый Волк »

Саму замену вы тогда верно угадали: \(t=x+5\). Если \(t=x+5\), то \(x=t-5\), поэтому \(dx=(t-5)'dt=1\cdot dt=dt\). Пределы интегрирования изменятся. Если \(x_1=\pi\), то \(t_1=\pi +5\). Аналогично, \(t_2=2\pi+5\).

\(\int\limits_{\pi}^{2\pi}\cos(x+5)dx=\int\limits_{\pi+5}^{2\pi+5}\cos t dt=\sin(2\pi+5)-\sin(\pi+5)\)

Насколько я понял, возникла проблема с последним преобразованием?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Annetta
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 25 мар 2014, 15:58

Re: вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Annetta »

да...до этого момента разобралась...а вот дальше..я не очень понимаю все эти тригонометрические вещи..и поэтому как вычислить из синуса другой синус не понимаю... первое, что приходит на ум - это разложить синус суммы))

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Добрый Волк »

Annetta писал(а):первое, что приходит на ум - это разложить синус суммы))
Вы сильно усложните себе решение этим преобразованием, - хотя оно возможно, конечно. Дело в том, что синус - функция периодическая, повторяющая свои значения через \(2\pi\). А это значит, что \(\sin(2\pi+5)=\sin 5\). Если в синусе или косинусе стоит \(2\pi\), то его можно смело отбрасывать. Далее, что касается второго синуса, то можете глянуть табличку на второй странице этого документа. Для второго синуса получим: \(\sin(\pi+5)=-\sin 5\). Ну, и итог таков:

\(\sin(2\pi+5)-\sin(\pi+5)=\sin 5 -(-\sin 5)=2\sin 5\)

Всё гораздо проще, чем кажется на первый взгляд :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Annetta
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 25 мар 2014, 15:58

Re: вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Annetta »

это же формулы приведения...как я могла забыть!.. мне стыдно) извините) всё понятно) спасибо большое)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Добрый Волк »

Да не за что :) Кстати, насчет формул приведения: я их сам не могу запомнить, еще класса с восьмого :) Постоянно смотрю в таблицу :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Annetta
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 25 мар 2014, 15:58

Re: вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Annetta »

если не трудно, посмотрите еще вот это...я где-то ошиблась..но где не пойму...
Вложения
nxH7uPpLQTk.jpg
nxH7uPpLQTk.jpg (128.47 КБ) 6961 просмотр

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Добрый Волк »

Наверное, я вас сейчас немного разочарую, - этот интеграл крайне прост :) Для него можно сразу написать, что \(\int\limits_{-1}^{1}\mathrm{arctg}x\;dx=0\). Дело в том, что пределы интегрирования (т.е. -1 и 1) симметричны относительно нуля (т.е. находятся на равном расстоянии от нуля). А функция \(\mathrm{arctg}\;x\) - нечётная.

Есть теорема, которая говорит прямо и недвусмысленно: интеграл от нечётной функции при симметричных пределах интегрирования равен нулю. Вот и всё решение :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Определённые интегралы»