вычислить интеграл, используя замену переменных

Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и обьёмов тел. Несобственные интегралы.
Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Добрый Волк »

Кстати, решение ваше практически верное, но вы малость ошиблись тут:

\(1\cdot \mathrm{arctg}\;1-(-1)\mathrm{arctg}\;(-1)= \mathrm{arctg}\;1- \mathrm{arctg}\;1=0.\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Annetta
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 25 мар 2014, 15:58

Re: вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Annetta »

спасибо) вы действительно помогли очень сильно)
ну и последнее в чем были трудности: наверняка можно как-то проще решить...а я намудрила и запуталась...
Вложения
VkdK005AaAM.jpg
VkdK005AaAM.jpg (124.49 КБ) 4869 просмотров

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Добрый Волк »

Хм... Вижу, вы не ищете лёгких путей в науке :) Преобразования у вас правильны, но, честно говоря, громоздки. Разбивать на два интеграла имеет смысл лишь тогда, когда нельзя работать с единым интегралом. Можете глянуть в качестве образца пример №5 на странице интегрирования по частям. В вашем случае получится примерно так:

\(\int\limits_{0}^{1} (x^2+x)\sin x \; dx=\left | \begin{aligned} & u=x^2+x; \; du=(2x+1)dx.\\ & dv=\sin xdx; \; v=-\cos x. \end {aligned} \right |=
\\=
\left. -(x^2+x)\cos x \right|_{0}^{1}+\int\limits_{0}^{1}(2x+1)\cos x\;dx=-2\cos 1+\int\limits_{0}^{1}(2x+1)\cos x\;dx=\left | \begin{aligned} & u=2x+1; \; du=2dx.\\ & dv=\cos xdx; \; v=\sin x. \end {aligned} \right |=\ldots\)


Ну, и дальше останется последний интеграл. Если не получится - поработаем с ним :)

Кстати, в ответе должно выйти \(3\sin 1 -2\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Annetta
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 25 мар 2014, 15:58

Re: вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Annetta »

сейчас попробую)

Annetta
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 25 мар 2014, 15:58

Re: вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Annetta »

как-то так)
Вложения
IZum0elVpKg.jpg
IZum0elVpKg.jpg (153.73 КБ) 4867 просмотров

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: вычислить интеграл, используя замену переменных

Сообщение Добрый Волк »

Да, всё верно. В конце слагаемое \(2\cos 1\) сокращается, и остается \(3\sin 1- 2\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"


Ответить

Вернуться в «Определённые интегралы»