Вычислить площадь фигуры в полярной системе координат

[Виктория24]

Думаю, что можно здесь продолжить.
В полярной системе координат вычислить площадь фигуры, заданной уравнением в декартовых координатах.
насколько я понимаю искать нужно площадь криволинейного сектора.
S= 1/2* интеграл ( пределы интегрирования от альфа до бетта) r^2(фи)d(фи)
пределы интегрирования у нас будут от 0 до пи? или чтобы их найти нужно решить неравенство r(фи) больше или равно нулю.
а так формула получается S= 1/2 интеграл 2(cos^2 фи + 2) d фи по моему так

на счёт графика, пыталась построить этот крив. сектор, но так и не поняла как это сделать

[Алексей]

Отлично, здесь и продолжим. Интеграл у вас совершенно правильный, т.е. \(S=\frac{1}{2}\int\limits_{\alpha}^{\beta}2(2+\cos^2\varphi) d\varphi\). Двойку, кстати, выносить за интеграл пока не будем - она еще под интегралом пригодится.

Теперь насчет пределов интегрирования. Рассматриваемая фигура симметрична относительно полярной оси. Т.е., можно найти площадь от 0 до \(\pi\) (это \(S_1\)), а затем умножить на два (и получим всю площадь S). Т.е., примерно так:

\(S=2S_1=2\cdot \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi}2(2+\cos^2\varphi) d\varphi=\int\limits_{0}^{\pi}2(2+\cos^2\varphi) d\varphi\)

Если тут все ясно, то пойдём далее

[Алексей]

Добавлю рисунок, чтобы было нагляднее:

Untitled1.png (6.81 КБ) 11885 просмотров

[Виктория24]

пределы интегрирования от 0 до пи, или полный круг до 2 пи?

[Алексей]

пределы интегрирования от 0 до пи, или полный круг до 2 пи?

А зачем нам полный круг? Возьмём половину, а потом на два умножим: и дробь перед интегралом уйдёт

Мне сейчас нужно бежать на пару - философия, будь она неладна Я через два часа буду в сети и продолжим, - там буквально пару действий осталось.

[Виктория24]

порпобывала решить интеграл получилось 5*f+sinf*cosf= (5*0+sin0cos0)-(5*пи+sin пи* cos пи)= 0+5 пи=5 пи

[Алексей]

порпобывала решить интеграл получилось 5*f+sinf*cosf= (5*0+sin0cos0)-(5*пи+sin пи* cos пи)= 0+5 пи=5 пи

Знаете, ваш ответ правильный. Но вот решение несколько усложнено Например, насколько я понимаю, произведение \(\sin\varphi\cdot\cos\varphi\) возникло, когда вы разложили \(\sin 2\varphi\). Но зачем? Далее, насколько я понимаю, у вас немного спутан порядок подстановки. Но в принципе, главный ход решения и ответ верны. Я укажу свой вариант, а вы гляньте, это ли решение вы имели в виду:

\(\int\limits_{0}^{\pi}(4+2\cos^2\varphi)d\varphi=\left|2\cos^2\varphi=1+\cos 2\varphi \right|=\\=\int\limits_{0}^{\pi}(5+\cos 2\varphi)d\varphi = \left.\left(5\varphi+\frac{\sin 2\varphi}{2} \right)\right|_{0}^{\pi}=5\pi+\frac{\sin 2\pi}{2}-\left(5\cdot 0+\frac{\sin 0}{2}\right)=5\pi.\)

[Виктория24]

я интеграл решала прогаммкой а подставляла уже сама потом.

[Алексей]

я интеграл решала прогаммкой а подставляла уже сама потом.

А какой программкой? Кстати, когда будете смотреть решение, обновите страницу, пожалуйста, - я немного дроби подправил.

[Виктория24]

онлайн калькулятор. я вчера очень долго мучалась с приделами и производными, а потом когда уже решила наткнулась на неё и проверила там, всё совпало. это уже ответ 5пи или нужно пи подставить 3,14?