Вычислить площадь фигуры в полярной системе координат

Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и обьёмов тел. Несобственные интегралы.
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Вычислить площадь фигуры в полярной системе координат

Сообщение Виктория24 »

Думаю, что можно здесь продолжить.
В полярной системе координат вычислить площадь фигуры, заданной уравнением в декартовых координатах.
насколько я понимаю искать нужно площадь криволинейного сектора.
S= 1/2* интеграл ( пределы интегрирования от альфа до бетта) r^2(фи)d(фи)
пределы интегрирования у нас будут от 0 до пи? или чтобы их найти нужно решить неравенство r(фи) больше или равно нулю.
а так формула получается S= 1/2 интеграл 2(cos^2 фи + 2) d фи по моему так :)

на счёт графика, пыталась построить этот крив. сектор, но так и не поняла как это сделать

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить площадь фигуры в полярной системе координат

Сообщение Добрый Волк »

Отлично, здесь и продолжим. Интеграл у вас совершенно правильный, т.е. \(S=\frac{1}{2}\int\limits_{\alpha}^{\beta}2(2+\cos^2\varphi) d\varphi\). Двойку, кстати, выносить за интеграл пока не будем - она еще под интегралом пригодится.

Теперь насчет пределов интегрирования. Рассматриваемая фигура симметрична относительно полярной оси. Т.е., можно найти площадь от 0 до \(\pi\) (это \(S_1\)), а затем умножить на два (и получим всю площадь S). Т.е., примерно так:

\(S=2S_1=2\cdot \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi}2(2+\cos^2\varphi) d\varphi=\int\limits_{0}^{\pi}2(2+\cos^2\varphi) d\varphi\)

Если тут все ясно, то пойдём далее :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить площадь фигуры в полярной системе координат

Сообщение Добрый Волк »

Добавлю рисунок, чтобы было нагляднее:
Untitled1.png
Untitled1.png (6.81 КБ) 9649 просмотров
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Вычислить площадь фигуры в полярной системе координат

Сообщение Виктория24 »

пределы интегрирования от 0 до пи, или полный круг до 2 пи?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить площадь фигуры в полярной системе координат

Сообщение Добрый Волк »

Виктория24 писал(а):пределы интегрирования от 0 до пи, или полный круг до 2 пи?
А зачем нам полный круг? Возьмём половину, а потом на два умножим: и дробь перед интегралом уйдёт :)

Мне сейчас нужно бежать на пару - философия, будь она неладна :mrgreen: Я через два часа буду в сети и продолжим, - там буквально пару действий осталось.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Вычислить площадь фигуры в полярной системе координат

Сообщение Виктория24 »

порпобывала решить интеграл получилось 5*f+sinf*cosf= (5*0+sin0cos0)-(5*пи+sin пи* cos пи)= 0+5 пи=5 пи

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить площадь фигуры в полярной системе координат

Сообщение Добрый Волк »

Виктория24 писал(а):порпобывала решить интеграл получилось 5*f+sinf*cosf= (5*0+sin0cos0)-(5*пи+sin пи* cos пи)= 0+5 пи=5 пи
Знаете, ваш ответ правильный. Но вот решение несколько усложнено :) Например, насколько я понимаю, произведение \(\sin\varphi\cdot\cos\varphi\) возникло, когда вы разложили \(\sin 2\varphi\). Но зачем? :) Далее, насколько я понимаю, у вас немного спутан порядок подстановки. Но в принципе, главный ход решения и ответ верны. Я укажу свой вариант, а вы гляньте, это ли решение вы имели в виду:

\(\int\limits_{0}^{\pi}(4+2\cos^2\varphi)d\varphi=\left|2\cos^2\varphi=1+\cos 2\varphi \right|=\\=\int\limits_{0}^{\pi}(5+\cos 2\varphi)d\varphi = \left.\left(5\varphi+\frac{\sin 2\varphi}{2} \right)\right|_{0}^{\pi}=5\pi+\frac{\sin 2\pi}{2}-\left(5\cdot 0+\frac{\sin 0}{2}\right)=5\pi.\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Вычислить площадь фигуры в полярной системе координат

Сообщение Виктория24 »

я интеграл решала прогаммкой :oops: а подставляла уже сама потом.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить площадь фигуры в полярной системе координат

Сообщение Добрый Волк »

Виктория24 писал(а):я интеграл решала прогаммкой :oops: а подставляла уже сама потом.
А какой программкой? :) Кстати, когда будете смотреть решение, обновите страницу, пожалуйста, - я немного дроби подправил.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Вычислить площадь фигуры в полярной системе координат

Сообщение Виктория24 »

онлайн калькулятор. я вчера очень долго мучалась с приделами и производными, а потом когда уже решила наткнулась на неё и проверила там, всё совпало. это уже ответ 5пи или нужно пи подставить 3,14?

Ответить

Вернуться в «Определённые интегралы»