вычислить длину дуги, заданной плоской кривой

Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и обьёмов тел. Несобственные интегралы.
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

вычислить длину дуги, заданной плоской кривой

Сообщение Виктория24 »

Вычислить длину дуги, заданной плоской кривой
система: x=2(cost+t*sint)
y=2(sint-tcost)
t(0;пи)
нашла производную x 2t*cost
y 2t*sint
тогда (x штрих)^2+(y штрих)^2= (2t*cost)^2+ (2t*sint)^2= 4t*cos^2 t+4t* sin^2t= 4(t)^2*(cos^2(t)+sin^2(t)) и вот здесь получается 4(t)^2, но как тогда интегрировать

L= интеграл(0;пи) sqrt((x(t) штрих)^2+(y(t) штрих)^2)dt

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: вычислить длину дуги, заданной плоской кривой

Сообщение Добрый Волк »

Так, производные вы нашли верно (надеюсь, не программой :) ) Действительно, \(x'=2t\cos t\), \(y'=2t\sin t\). И совершенно верно получается, что \((x')^2+(y')^2=4t^2\). Нам под интеграл нужно подставить \(\sqrt{(x')^2+(y')^2}=\sqrt{4t^2}\). Вообще-то, данный корень равен модулю от \(2t\), т.е. \(\sqrt{4t^2}=|2t|\). Но у нас по условию \(t\geqslant 0\), поэтому знак модуля не нужен, т.е. \(\sqrt{4t^2}=|2t|=2t\).

А дальше имеем простой интеграл:

\(L=\int\limits_{0}^{\pi}2t\; dt\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: вычислить длину дуги, заданной плоской кривой

Сообщение Виктория24 »

получается t^2 и если подставить о и пи, то 0^2 - пи^2= - пи^2 как это может быть

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: вычислить длину дуги, заданной плоской кривой

Сообщение Добрый Волк »

Виктория24 писал(а):получается t^2 и если подставить о и пи, то 0^2 - пи^2= - пи^2 как это может быть
Да, так действительно не может, - отрицательную длину еще математики не изобрели :) Просто подставлять надо сначала верхний предел, т.е. \(\pi\), а потом нижний (т.е. 0):

\(\left. t^2 \right|_{0}^{\pi}=\pi^2-0^2=\pi^2.\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: вычислить длину дуги, заданной плоской кривой

Сообщение Виктория24 »

всегда так сначала верхний, а потом нижний? и это получается длина дуги пи^2? это ответ?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: вычислить длину дуги, заданной плоской кривой

Сообщение Добрый Волк »

Виктория24 писал(а):всегда так сначала верхний, а потом нижний? и это получается длина дуги пи^2? это ответ?
На все три вопроса ответ утвердительный: всегда; это и есть длина; и это ответ :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: вычислить длину дуги, заданной плоской кривой

Сообщение Добрый Волк »

Если иных вопросов нету, предлагаю перейти к объему.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"


Ответить

Вернуться в «Определённые интегралы»