Вычислить объем тела, образованного вращением

Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и обьёмов тел. Несобственные интегралы.
Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Вычислить объем тела, образованного вращением

Сообщение Виктория24 »

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг Оy фигуры, ограниченной линиями y^3=x^2, y=1
Решение:
y= x^(2/3)
Voy=2*пи* интеграл(a;b) (x*(y1(x)-y2(x))dx
по графику пределы интегрирования у меня получились от 0 до1
Voy= 2 пи * интеграл(0;1) (x*( x^(2/3)-1)dx = 2 пи * 1/8*(3* (x^(2/3))-4))*x^2+c вынесла 1/8 за знак интеграла и подставила пределы интегрирования (3* 0^(2/3)-4)*0^2)-(3* 1^(2/3)-4)*1^2)=0+1=1
2 пи *1/8*1 = 2пи/8 и график мой некрасивый, но лучше, чем ничего.
Вложения
график 5.png
график 5.png (7.36 КБ) 7920 просмотров

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

Сообщение Добрый Волк »

Давайте сначала пару слов насчет графика \(y^3=x^2\). Он красивый (в математике нет некрасивых графиков :) ), но в нем есть одна проблема - он не совсем корректный. Посмотрите сами: судя по графику получается, что иксы могут быть только неотрицательны, т.е. \(x\geqslant 0\). Однако я могу в уравнение \(y^3=x^2\) смело подставить отрицательное значение, например, \(x=-8\), получив при этом:

\(y^3=(-8)^2;\; y^3=64;\; y=4.\)

Т.е. график должен находиться и левее нуля. Кажется, я догадываюсь, в чем тут дело: вы строили в AGrapher?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

Сообщение Виктория24 »

да там) а там возможно построить, чтобы учитывались x меньше 0?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

Сообщение Добрый Волк »

Виктория24 писал(а):да там) а там возможно построить, чтобы учитывались x меньше 0?
Тут есть некоторая проблема, которая присутствует и в профессиональный программах - маткаде, например. Кстати, если бы вы уравнение \(y^3=x^2\) записали бы в программе так: \(y^3-x^2=0\) - то увидели бы две ветки, хотя вроде разницы тут нет - на первый взгляд, конечно. Я попробую сейчас вкратце описать в чем тут дело.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

Сообщение Виктория24 »

вот так вышло т.е нужно интеграл на 2 умножать?
Вложения
график 6.png
график 6.png (7.77 КБ) 7906 просмотров

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

Сообщение Добрый Волк »

Дело в том, что математические программы (и некоторые справочники, кстати) по умолчанию предполагают, что если уж имеется дробная степень, то в основании её стоит число, не меньшее нуля. Например, если \(y=x^{\frac{2}{3}}\), то \(x\geqslant 0\) - и никаких \(x<0\) (т.е., левой ветки графика) не предусмотрено. Но если вы введете в ту же программу \(y=\sqrt[3]{x^2}\), то получите две ветки.

Откуда взялась эта проблема? Я напишу вкратце, чтобы пояснить суть вопроса. Например, нам нужно найти \(\sqrt[3]{64}\). Что это за число? Это число \(a\), которое будучи возведено в третью степень даст 64. Т.е., \(a^3=64\) или \(a^3-64=0\). Естественно, что первое приходит на ум \(a=4\) :) Но уравнение \(a^3-64=0\) имеет три решения, а четвёрка - лишь одно из них. Остальные два - в комплексной плоскости. Вот отсюда и проблемы :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

Сообщение Виктория24 »

теперь понимаю как важно правильно вводить данные и учитывать все возможные значения.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

Сообщение Добрый Волк »

Данные вы ввели верно, просто в таких программах есть моменты, которые я называю "подводными камнями" :) И ответ желательно првоерять на правдоподобность. Ну, чтобы не вышло как у Маршака:
И вышло у меня в ответе:
Два землекопа и две трети.
Но давайте вернемся к объему. Интеграл умножать на два не придется. Поясню: представьте себе, что вы вращаете окружность. Получите сферу. А если будете вращать половину окружности - вы получите ту же сферу :) Просто с графиком я поправил вас, потому что такие моменты могут быть важны в иных заданиях.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Виктория24
Сообщения: 81
Зарегистрирован: 26 мар 2014, 20:56

Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

Сообщение Виктория24 »

а ну да, вращение же здесь, а не плоская фигура.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

Сообщение Добрый Волк »

Виктория24 писал(а):а ну да, вращение же здесь, а не плоская фигура.
Совершенно верно. Итак, фигура вращается вокруг оси Oy. Уравнение линии: \(x^2=y^3\). Давайте немного поменяем мировоззрение: пусть теперь \(y\) будет переменной, а \(x\) - функцией. На самом деле разницы никакой совершенно. Просто если мы вращаем линию вокруг оси Oy, то \(V=\pi\int\limits_{y_1}^{y_2}(x(y))^2 dy\). Из вашего рисунка и условия ясно, что \(0\leqslant y \leqslant 1\). Тогда объем равен:

\(V=\pi\cdot\int\limits_{0}^{1}x^2 dy=\pi\cdot\int\limits_{0}^{1}y^3 dy\)

А дальше выходит несложный интеграл :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Определённые интегралы»