Используя метод математической индукции,доказать,что

Темы из курса высшей математики, которые не вошли в предыдущие разделы.
Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Используя метод математической индукции,доказать,что

Сообщение Добрый Волк »

Понятно :) В общем, если подставить \(n=1\), то полученное число (т.е. 649) делится на 11. Иными словами, при \(n=1\) утверждение верно. Имеется в виду утверждение, что \(2^{2n+1}\cdot 3^{n+3}+1\) делится на 11. Теперь перейдем к второму шагу:

Второй шаг

Пусть при \(n=k\) данное утверждение верно. Т.е. выражение \(2^{2k+1}\cdot 3^{k+3}+1\) делится на 11.

Считая, что при \(n=k\) утверждение верно, нужно доказать, что оно будет верным и при \(n=k+1\). Иными словами, при условии истинности утверждения \(\left( 2^{2k+1}\cdot 3^{k+3}+1\right)\vdots 11\) нужно показать, что \(\left( 2^{2(k+1)+1}\cdot 3^{(k+1)+3}+1\right)\vdots 11\).

Вроде пояснил, как умел :) Если тут есть вопросы - давайте :) Если нету - пойдем далее.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Anna955
Сообщения: 217
Зарегистрирован: 24 апр 2014, 17:06

Re: Используя метод математической индукции,доказать,что

Сообщение Anna955 »

Если честно запуталась)))я поняла что при n=1 утверждение верно,но при к что-то не понятно))))

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Используя метод математической индукции,доказать,что

Сообщение Добрый Волк »

Дело в том, что сам метод мат. индукции состоит в трех шагах:
  1. Показать истинность утверждения при \(n=1\).
  2. Предположить, что при \(n=k\) утверждение верно.
  3. Доказать, что если утверждение верно при \(n=k\), то оно будет верно и при \(n=k+1\).
Наше утверждение звучит так: "Выражение \(2^{2n+1}\cdot 3^{n+3}+1\) делится на 11". При \(n=1\) это утверждение становится таким: "Выражение 649 делится на 11" - это истинное утверждение, т.е. первый шаг выполнен.

Теперь идем к второму шагу. Пусть утверждение верно при \(n=k\). Т.е., фраза "Выражение \(2^{2k+1}\cdot 3^{k+3}+1\) делится на 11" является истиной.


Теперь нужно доказать, что если утверждение верно при \(n=k\), оно будет верно и при \(n=k+1\). В развернутом виде: если утверждение "Выражение \(2^{2k+1}\cdot 3^{k+3}+1\) делится на 11" является истинным, то доказать, что утверждение "Выражение \(2^{2(k+1)+1}\cdot 3^{(k+1)+3}+1\) делится на 11" также является истиной.


Если какой-то логический переход тут неясен, попробуем разобраться детальнее.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"


Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Используя метод математической индукции,доказать,что

Сообщение Добрый Волк »

Ох, сомнительно что-то мне ваше утверждение, о том, что все понятно :) Но разберемся уже по ходу дела :) Итак, нужно доказать, что \(2^{2(k+1)+1}\cdot 3^{(k+1)+3}+1\) делится на 11. При условии, конечно, что \(2^{2k+1}\cdot 3^{k+3}+1\) делится на 11.


Для начала давайте раскроем скобки в степенях. Т.е.,

\(2^{2(k+1)+1}\cdot 3^{(k+1)+3}+1=...\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"


Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Используя метод математической индукции,доказать,что

Сообщение Добрый Волк »

Логично, только там еще не хватает +1, т.е.

\(2^{2(k+1)+1}\cdot 3^{(k+1)+3}+1=2^{2k+3}\cdot 3^{k+4}+1\)

Теперь попробуем использовать то утверждение, которое полагали истинным, т.е., что \(2^{2k+1}\cdot 3^{k+3}+1\) делится на 11. Для начала немного преобразуем выражение \(2^{2k+3}\cdot 3^{k+4}+1\):

\(2^{2k+3}\cdot 3^{k+4}+1=2^{2k+1+2}\cdot 3^{k+3+1}+1=2^{2k+1} \cdot 2^2 \cdot 3^{k+3}\cdot 3^1+1=...\)

Если вы чуток упростите это выражение, то дальше останется уже немного :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Anna955
Сообщения: 217
Зарегистрирован: 24 апр 2014, 17:06

Re: Используя метод математической индукции,доказать,что

Сообщение Anna955 »

Я не поняла как вы получили 2^2)))

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1541
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Используя метод математической индукции,доказать,что

Сообщение Добрый Волк »

Есть формула:

\(a^{b+c}=a^b\cdot a^c\)

По этой формуле

\(2^{2k+1+2}=2^{2k+1}\cdot 2^2\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"


Закрыто

Вернуться в «Разное»