Помогите решить очень нужно

Темы из курса высшей математики, которые не вошли в предыдущие разделы.
njh

Помогите решить очень нужно

Сообщение njh »

Пожалуйста, подскажите, как решать
2^(0.5x)= 3^(-0.5x)+5/3

пыталась
2^(0.5x)=\( \sqrt{2}^{x}\)}[/tex]
3^(-0.5x)= 1 \\(\sqrt{3}^{x}\) =\((\sqrt{3}/3)^{x}\)

Спасибо!
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Помогите решить очень нужно

Сообщение Алексей »

Не совсем понятно, какой из двух вариантов имеется в виду: \( 2^{0,5x}=3^{-0,5x}+\frac{5}{3}\) или \(2^{0,5x}=3^{-0,5x+\frac{5}{3}}\)?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
njh

Re: Помогите решить очень нужно

Сообщение njh »

Да, первый вариант,
подбором х=2
и доказать, что других корней нет?
А можно ли как иначе?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Помогите решить очень нужно

Сообщение Алексей »

Ну, доказать отсутствие иных корней можно. Рассмотрим функцию \( f(x)=2^{0,5x}-3^{-0,5x}-\frac{5}{3}\). Её область определения: \(D(f)=R\), т.е. она определена на всей числовой оси. Вы нашли один корень исходного уравнения, т.е. показали, что \(f(2)=0\).

\(f'(x)=2^{0,5x}\ln{2}\cdot{0{,}5}+3^{-0,5x}\ln{3}\cdot{0{,}5}=0{,}5\cdot\left(2^{0,5x}\ln{2}+3^{-0,5x}\ln{3}\right)\)

Так как \(2^{0,5x}>0\) и \(3^{-0,5x}>0\) при всех \(x\in{R}\), а также истинны неравенства \(\ln{2}>0\) и \(\ln{3}>0\), то \(f'(x)>0\) при всех \(x\in{D(f)}\). Следовательно, функция \(f(x)\) возрастает на всей области определения.

Отсюда следует, что при всех \(x>2\) имеем \(f(x)>f(2)\), т.е. \(f(x)>0\). А при всех \(x<2\) имеем \(f(x)<f(2)\), т.е. \(f(x)<0\). Таким образом, есть только одна точка, в которой \(f(x)=0\) - это точка \(x=2\). Следовательно, исходное уравнение не имеет иных корней кроме \(x=2\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
njh

Re: Помогите решить очень нужно

Сообщение njh »

А так чтобы без подбора есть способ найти корни?
Спасибо!
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Помогите решить очень нужно

Сообщение Алексей »

Может, графическим способом - преобразовать левую и правую части так, чтобы точка пересечения графиков была очевидна после элементарных преобразований. Другого варианта (кроме численных методов) пока что не наблюдаю.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Закрыто