Комплексные числа

Темы из курса высшей математики, которые не вошли в предыдущие разделы.
kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Комплексные числа

Сообщение kicul » 19 мар 2017, 10:12

\(\frac{(1-i\sqrt{3})^6}{(1+i\sqrt{3})^4}+(1+i)*(3-i).
\(С помощью формулы Муавра решать или есть другой метод? Спасибо.\)\)
Последний раз редактировалось kicul 19 апр 2017, 17:05, всего редактировалось 2 раза.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1526
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Комплексные числа

Сообщение Добрый Волк » 19 мар 2017, 13:12

Формула Муавра вам, конечно, понадобится, но перед её применением неплохо бы умножить знаменатель и числитель на выражение \((1-i\sqrt{3})^4\). Так как \((1-i\sqrt{3})\cdot(1+i\sqrt{3})=4\), то дробь примет такой вид:

\(
\frac{(1-i\sqrt{3})^6}{(1+i\sqrt{3})^4}
=\frac{(1-i\sqrt{3})^6\cdot(1-i\sqrt{3})^4}{(1+i\sqrt{3})^4\cdot(1+i\sqrt{3})^4}
=\frac{(1-i\sqrt{3})^{10}}{4^4}
\)

А для раскрытия скобок в числителе уже применить формулу Муавра.

Есть, конечно, иной вариант, - менее очевидный, но более быстрый, причём без использования формулы Муавра. Дело в том, что \((1-i\sqrt{3})^2=-2-2\sqrt{3}i=-2\cdot(1+\sqrt{3}i)\). Тогда дробь можно записать в таком виде:

\(
\frac{(1-i\sqrt{3})^6}{(1+i\sqrt{3})^4}
=\frac{\left((1-i\sqrt{3})^2\right)^3}{(1+i\sqrt{3})^4}
=\frac{\left(-2\cdot(1+\sqrt{3}i)\right)^3}{(1+i\sqrt{3})^4}
=\frac{-8}{1+i\sqrt{3}}
\)

А далее стандартное домножение знаменателя и числителя на выражение \(1-i\sqrt{3}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Re: Комплексные числа

Сообщение kicul » 24 апр 2017, 18:28

Добрый Волк писал(а):
19 мар 2017, 13:12
Формула Муавра вам, конечно, понадобится, но перед её применением неплохо бы умножить знаменатель и числитель на выражение \((1-i\sqrt{3})^4\). Так как \((1-i\sqrt{3})\cdot(1+i\sqrt{3})=4\), то дробь примет такой вид:

\(
\frac{(1-i\sqrt{3})^6}{(1+i\sqrt{3})^4}
=\frac{(1-i\sqrt{3})^6\cdot(1-i\sqrt{3})^4}{(1+i\sqrt{3})^4\cdot(1+i\sqrt{3})^4}
=\frac{(1-i\sqrt{3})^{10}}{4^4}
\)

А для раскрытия скобок в числителе уже применить формулу Муавра.

Есть, конечно, иной вариант, - менее очевидный, но более быстрый, причём без использования формулы Муавра. Дело в том, что \((1-i\sqrt{3})^2=-2-2\sqrt{3}i=-2\cdot(1+\sqrt{3}i)\). Тогда дробь можно записать в таком виде:

\(
\frac{(1-i\sqrt{3})^6}{(1+i\sqrt{3})^4}
=\frac{\left((1-i\sqrt{3})^2\right)^3}{(1+i\sqrt{3})^4}
=\frac{\left(-2\cdot(1+\sqrt{3}i)\right)^3}{(1+i\sqrt{3})^4}
=\frac{-8}{1+i\sqrt{3}}
\)

А далее стандартное домножение знаменателя и числителя на выражение \(1-i\sqrt{3}\).
\(\frac{(1-i\sqrt{3})^6}{(1+i\sqrt{3})^4}
=\frac{\left((1-i\sqrt{3})^2\right)^3}{(1+i\sqrt{3})^4}
=\frac{\left(-2\cdot(1+\sqrt{3}i)\right)^3}{(1+i\sqrt{3})^4}=\\
=\frac{-8}{1+i\sqrt{3}}\cdot\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}\cdot\frac{-8+8i\sqrt{3}}{1-(-1)\cdot3}=\frac{8(-1+i\sqrt3)}{4}=-2+2i\sqrt3\)

Ответ правильный? Спасибо.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1526
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Комплексные числа

Сообщение Добрый Волк » 25 апр 2017, 08:16

Вроде ответ верный, т.е. \(

\frac{\left(1-i\sqrt{3}\right)^6}{\left(1+i\sqrt{3}\right)^4}
=-2+2\sqrt{3}\cdot{i}
\)


Но не забывайте, что у вас в исходном выражении было два слагаемых, т.е. к полученному результату нужно ещё прибавить \((1+i)\cdot(3-i)\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Re: Комплексные числа

Сообщение kicul » 25 апр 2017, 09:22

\(\frac{(1-i\sqrt{3})^6}{(1+i\sqrt{3})^4}
=\frac{\left((1-i\sqrt{3})^2\right)^3}{(1+i\sqrt{3})^4}
=\frac{\left(-2\cdot(1+\sqrt{3}i)\right)^3}{(1+i\sqrt{3})^4}
=\frac{-8}{1+i\sqrt{3}}\cdot\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}\cdot\frac{-8+8i\sqrt{3}}{1-(-1)\cdot3}=\\=\frac{8(-1+i\sqrt3)}{4}=-2+2\sqrt3i+(1+i)\cdot(3-i)=-2+2\sqrt3i+3-i^2=+2\sqrt3i+1+1=2(\sqrt3i+1)\)

Ответ правильный? Спасибо.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1526
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Комплексные числа

Сообщение Добрый Волк » 25 апр 2017, 13:53

В маткаде получился ответ \(2+\left(2\sqrt{3}+2\right)\cdot{i}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Закрыто

Вернуться в «Разное»