Извлечь корень

Темы из курса высшей математики, которые не вошли в предыдущие разделы.
kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Извлечь корень

Сообщение kicul » 24 апр 2017, 19:29

\(\sqrt[4]\frac{ 5-\sqrt{75}i }{ -2i }=\)
\(\sqrt[4]\frac{ -5-i\sqrt{75} }{ -2i }\)\(\(
\(\sqrt[4]\frac{ 10cos\frac{4\pi}{3}+sin\frac{4\pi}{3}}{ -2i }\)\)

\(\sqrt[4]\frac{ -10-\sqrt{3}}{ -4 }\)
\(\frac{-5i-3}{-2i}\)
Дать геометрическое истолкование. Спасибо.\)
Последний раз редактировалось kicul 26 апр 2017, 18:31, всего редактировалось 2 раза.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1526
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Извлечь корень

Сообщение Добрый Волк » 25 апр 2017, 08:23

Для начала подкоренное выражение, т.е. \(z=\frac{5-\sqrt{75}i}{-2i}\) нужно представить в тригонометрической форме. Для этого нужно найти модуль и аргумент числа \(z\).

\(z=\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2}i\), \(|z|=5\), \(\arg(z)=\frac{\pi}{6}\).

Разумеется, указанные выше ответы нужно перепроверить. Далее записываем \(z\) в тригонометрической форме и применяем формулу Муавра.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Re: Извлечь корень

Сообщение kicul » 04 май 2017, 20:07

\(\sqrt{( - \frac{ 5 }{ 2 } )^{2} +(\frac{ \sqrt{75} }{ 2 }) ^{2} } = \sqrt{\frac{ 25 }{ 4 }+ \frac{ 75}{ 4}} = \sqrt{\frac{ 100 }{ 4 } } = \sqrt{25} = 5\)
\(\boldsymbol{\varphi} = \arg{ \boldsymbol{z} } = \operatorname{arctg} \frac{ - \frac{ \sqrt{75} }{ 2 } }{ - \frac{ 5 }{ 2} } = \frac{ \sqrt{75} }{ 5 } = \frac{ \sqrt{25 \cdot 3} }{5 } = \frac{ 5\sqrt{3} }{ 5 } = \sqrt{3}\)
\(\boldsymbol{z} = 5 (\cos{\frac{ \boldsymbol{\pi} }{ 3 } + \boldsymbol{i} \sin{\frac{ \boldsymbol{\pi} }{ 3} } } )\)
\(\boldsymbol{z} ^{\frac{ 1 }{ 4 } } = ( (\cos{\frac{ \boldsymbol{\pi} }{ 3 } } + i \sin{\frac{ \boldsymbol{\pi} }{ 3 } } ))^{\frac{ 1 }{ 4 } }=5^{ \frac{ 1 }{ 4 } }(\cos{\frac{ \boldsymbol{\pi} }{ 3} } + i \sin{\frac{ \boldsymbol{\pi} }{ 3 } } )^{\frac{ 1 }{ 4 }}\)

Можно таким способом решить? Спасибо.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1526
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Извлечь корень

Сообщение Добрый Волк » 05 май 2017, 01:23

В маткаде получился иной вариант: гляньте предыдущее сообщение, там записаны модуль и аргумент числа \(z\). Чтобы записать число \(z\) в алгебраической форме, достаточно почленно разделить дробь на две, после чего сделать пару простых преобразований:



\(
z=\frac{5-\sqrt{75}i}{-2i}
=\frac{5}{-2i}+\frac{\sqrt{75}}{2}
=\frac{5i}{-2i^2}+\frac{\sqrt{75}}{2}
=\frac{5}{-2i}+\frac{\sqrt{75}}{2}
=\frac{5i}{2}+\frac{\sqrt{75}}{2}
=\frac{\sqrt{75}}{2}+\frac{5}{2}i.
\)



Используйте формулу Муавра. Дело в том, что есть \(n\) различных значений выражения \(\sqrt[n]{z}\), т.е. в вашем случае \(\sqrt[4]{z}\) имеет 4 значения. Гляньте образец применения формулы Муавра:

Отправка.png
Отправка.png (21.81 КБ) 2257 просмотров
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Re: Извлечь корень

Сообщение kicul » 06 май 2017, 10:59

\(\sqrt {( \frac{ 5 }{ -2 } )^{2} +(\frac{ \sqrt{75} }{ -2 }) ^{2} } = \sqrt{\frac{ 25 }{ 4 }+ \frac{ 75}{ 4}} = \sqrt{\frac{ 100 }{ 4 } } = \sqrt{25} = 5\)
\(\boldsymbol{\varphi} = \arg{ \boldsymbol{z} } = \operatorname{arctg} \frac{ - \frac{ \sqrt{75} }{ -2 } }{ \frac{ 5 }{ -2} } = \frac{ -\sqrt{75} }{ 5 } = \frac{- \sqrt{25 \cdot 3} }{5 } = \frac{ -5\sqrt{3} }{ 5 } = -\sqrt{3}\)
\(\boldsymbol{z} = 5 (\cos{\frac{ \boldsymbol{2\pi} }{ 3 } + \boldsymbol{i} \sin{\frac{ \boldsymbol{2\pi} }{ 3} } } )\)
\(\boldsymbol{z} ^{\frac{ 1 }{ 4 } } = ( (\cos{\frac{ \boldsymbol{2\pi} }{ 3 } } + i \sin{\frac{ \boldsymbol{2\pi} }{ 3 } } ))^{\frac{ 1 }{ 4 } }=5^{ \frac{ 1 }{ 4 } }(\cos{\frac{ \boldsymbol{2\pi} }{ 3} } + i \sin{\frac{ \boldsymbol{2\pi} }{ 3 } } )^{\frac{ 1 }{ 4 }}\)
\(z_0=\sqrt[4]{5}(cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi\times0}{4}+i sin\frac {\frac{2\pi}{3}+2\pi\times0}{4})=\sqrt[4]{5}(cos \frac{\pi}{6}+i sin\frac{\pi}{6})\)
\(z_1=\sqrt[4]{5}(cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi\times1}{4}+i sin\frac {\frac{2\pi}{3}+2\pi\times1}{4})=\sqrt[4]{5}(cos \frac{2\pi}{3}+i sin\frac{2\pi}{3})\)
\(z_2=\sqrt[4]{5}(cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi\times2}{4}+i sin\frac {\frac{2\pi}{3}+2\pi\times2}{4})=\sqrt[4]{5}(cos \frac{7\pi}{6}+i sin\frac{7\pi}{6})\)
\(z_3=\sqrt[4]{5}(cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi\times3}{4}+i sin\frac {\frac{2\pi}{3}+2\pi\times3}{4})=\sqrt[4]{5}(cos \frac{5\pi}{3}+i sin\frac{5\pi}{3})\)
Радиус \(\sqrt[4]{5}\)
Точки правильные? Спасибо.
Последний раз редактировалось kicul 07 май 2017, 13:59, всего редактировалось 2 раза.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1526
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Извлечь корень

Сообщение Добрый Волк » 07 май 2017, 11:38

Проверьте условие. У вас то одно условие, то другое, действительная и мнимая части меняют знаки, как перчатки.

Вот здесь было \(x=-\frac{5}{2}\), \(y=\frac{\sqrt{75}}{2}\):
kicul писал(а):
06 май 2017, 10:59
\(\sqrt {( - \frac{ 5 }{ 2 } )^{2} +(\frac{ \sqrt{75} }{ 2 }) ^{2} } = \sqrt{\frac{ 25 }{ 4 }+ \frac{ 75}{ 4}} = \sqrt{\frac{ 100 }{ 4 } } = \sqrt{25} = 5\)
А здесь уже \(x=-\frac{ 5 }{ 2 }\), \(y=-\frac{\sqrt{75}}{2}\):
kicul писал(а):
06 май 2017, 10:59
\(\boldsymbol{\varphi} = \arg{ \boldsymbol{z} } = \operatorname{arctg} \frac{ - \frac{ \sqrt{75} }{ 2 } }{ - \frac{ 5 }{ 2} } = \frac{ -\sqrt{75} }{ 5 } = \frac{- \sqrt{25 \cdot 3} }{5 } = \frac{ -5\sqrt{3} }{ 5 } = -\sqrt{3}\)
Далее, в строчке выше каким-то волшебным образом исчез арктангенс. Вначале он был, потом исчез. Как?

В общем, разберитесь с исходным условием. В сообщении выше я указал, каким будет аргумент данного числа - при условии правильности условия, разумеется.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Re: Извлечь корень

Сообщение kicul » 07 май 2017, 13:58

\(\sqrt {( \frac{ 5 }{ -2 } )^{2} +(\frac{ -\sqrt{75} }{ -2 }) ^{2} } = \sqrt{\frac{ 25 }{ 4 }+ \frac{ 75}{ 4}} = \sqrt{\frac{ 100 }{ 4 } } = \sqrt{25} = 5\)
\(\boldsymbol{\varphi} = \arg{ \boldsymbol{z} } = \operatorname{arctg} \frac{ - \frac{ \sqrt{75} }{ -2 } }{ \frac{ 5 }{ -2} } = \frac{ -\sqrt{75} }{ 5 } = \frac{- \sqrt{25 \cdot 3} }{5 } = \frac{ -5\sqrt{3} }{ 5 } = -\sqrt{3}\)
\(\boldsymbol{z} = 5 (\cos{\frac{ \boldsymbol{2\pi} }{ 3 } + \boldsymbol{i} \sin{\frac{ \boldsymbol{2\pi} }{ 3} } } )\)
\(\boldsymbol{z} ^{\frac{ 1 }{ 4 } } = ( (\cos{\frac{ \boldsymbol{2\pi} }{ 3 } } + i \sin{\frac{ \boldsymbol{2\pi} }{ 3 } } ))^{\frac{ 1 }{ 4 } }=5^{ \frac{ 1 }{ 4 } }(\cos{\frac{ \boldsymbol{2\pi} }{ 3} } + i \sin{\frac{ \boldsymbol{2\pi} }{ 3 } } )^{\frac{ 1 }{ 4 }}\)
\(z_0=\sqrt[4]{5}(cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi\times0}{4}+i sin\frac {\frac{2\pi}{3}+2\pi\times0}{4})=\sqrt[4]{5}(cos \frac{\pi}{6}+i sin\frac{\pi}{6})\)
\(z_1=\sqrt[4]{5}(cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi\times1}{4}+i sin\frac {\frac{2\pi}{3}+2\pi\times1}{4})=\sqrt[4]{5}(cos \frac{2\pi}{3}+i sin\frac{2\pi}{3})\)
\(z_2=\sqrt[4]{5}(cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi\times2}{4}+i sin\frac {\frac{2\pi}{3}+2\pi\times2}{4})=\sqrt[4]{5}(cos \frac{7\pi}{6}+i sin\frac{7\pi}{6})\)
\(z_3=\sqrt[4]{5}(cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi\times3}{4}+i sin\frac {\frac{2\pi}{3}+2\pi\times3}{4})=\sqrt[4]{5}(cos \frac{5\pi}{3}+i sin\frac{5\pi}{3})\)
Радиус \(\sqrt[4]{5}\)
Точки правильные? Спасибо.

Закрыто

Вернуться в «Разное»