Множества

Темы из курса высшей математики, которые не вошли в предыдущие разделы.
kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Множества

Сообщение kicul » 10 май 2017, 18:10

Доказать, что A ∩
B= (A ∩ B ∩C) ∪(A ∩ B ∩ C¯)
Пусть x ∈ A,x ∈ B. По определению пересечения x принадлежит одновременно и множеству A и множеству B.
По определению идемпотентности A ∪A = A; B ∪B=B
По свойству единицы C ∪C¯¯¯¯=1.Соответственно получается (A ∩ B) ∪(A ∩ B)=A ∩ B
Что и требовалось доказать.
Можно так доказывать? Спасибо.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1536
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Множества

Сообщение Добрый Волк » 11 май 2017, 07:23

Насколько я понимаю, условие таково:

\(A\cap{B}=(A\cap{B}\cap{C})\cup(A\cap{B}\cap\bar{C})\)

Чтобы доказать равенство вида \(A=B\), где А и В - некие множества, нужно показать \(A\subseteq{B}\) и \(B\subseteq{A}\). Иными словами, нужно доказать следующее:
  1. Если \(x\in{A}\), то \(x\in{B}\)
  2. Если \(x\in{B}\), то \(x\in{A}\)
В данном случае для доказательства равенства \(A\cap{B}=(A\cap{B}\cap{C})\cup(A\cap{B}\cap\bar{C})\) потребуется рассмотреть такие пункты:
  1. Если \(x\in{A\cap{B}}\), то \(x\in{(A\cap{B}\cap{C})\cup(A\cap{B}\cap\bar{C})}\)
  2. Если \(x\in{(A\cap{B}\cap{C})\cup(A\cap{B}\cap\bar{C})}\), то \(x\in{A\cap{B}}\)
Покажу доказательство первого пункта. Со вторым, полагаю, справитесь по аналогии.

Пусть \(x\in{A\cap{B}}\). Это означает, что \(x\in{A}\) и \(x\in{B}\). Рассмотрим два случая: \(x\in{C}\) и \(x\notin{C}\).
Если \(x\in{A}\), \(x\in{B}\) и \(x\in{C}\), то \(x\in{A\cap{B}\cap{C}}\). Следовательно, \(x\in{(A\cap{B}\cap{C})\cup(A\cap{B}\cap\bar{C})}\).

Если \(x\in{A}\), \(x\in{B}\) и \(x\notin{C}\), то \(x\in{A\cap{B}\cap\bar{C}}\). Следовательно, \(x\in{(A\cap{B}\cap{C})\cup(A\cap{B}\cap\bar{C})}\).

Таким образом, из условия \(x\in{A\cap{B}}\) следует, что \(x\in{(A\cap{B}\cap{C})\cup(A\cap{B}\cap\bar{C})}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Re: Множества

Сообщение kicul » 12 май 2017, 19:14

Доказать, \(А ∩ В \equiv \)\({(A\cap{B}\cap{C})\cup(A\cap{B}\cap\bar{C})}\) универсальным способом.
По определению пересечения множеств А и В, элементы, принадлежащие множеству А, одновременно принадлежат и множеству В. Из этого следует, что если х ∈ А, то х ∈ В, и наоборот, если х ∈ В, то х ∈ А.
Пусть х ∈ А∩В, это означает, что х ∈ А, х ∈ В. Если х ∈ А, х ∈ В, х ∈ С, то х ∈ А ∩ В ∩ С, следовательно, \(x\in{(A\cap{B}\cap{C})\cup(A\cap{B}\cap\bar{C})}\).
Пусть х ∈ А∩В, если х ∈ А, х ∈ В, х ∉ С, то х ∈ \({(A\cap{B}\cap\bar{C})}\)), следовательно, \(x\in{(A\cap{B}\cap{C})\cup(A\cap{B}\cap\bar{C})}\).
Таким образом, из условия х ∈ А∩В следует, что \(x\in{(A\cap{B}\cap{C})\cup(A\cap{B}\cap\bar{C})}\).
Пусть х ∈ (А ∩ В ∩ С), это значит, что х ∈ А, х ∈ В, х ∈ С, соответственно х ∈ А∩В. Пусть x ∈ \({(A\cap{B}\cap\bar{C})}\), х ∈ А, х ∈ В, х ∉ С, то х ∈ А∩В. Отсюда следует, что (А ∩ В ∩ С) ∪ (А ∩ В \(\cap\bar{C}\))≡ А∩В.
Следовательно, \(А ∩ В \equiv \)\({(A\cap{B}\cap{C})\cup(A\cap{B}\cap\bar{C})}\) . Что и требовалось доказать.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1536
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Множества

Сообщение Добрый Волк » 13 май 2017, 23:38

Вроде более-менее, но желательно записывать доказательства более структурированно.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Логик

Re: Множества

Сообщение Логик » 10 ноя 2017, 13:58

А можно доказать ещё проще, если использовать тождества теории множеств:

\((A \cap B \cap C) \cup ( A \cap B \cap \overline{C})=A \cap B \cap (C \cup \overline{C})=A \cap B \cap \mathbb{U}=A \cap B\).


Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1536
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Множества

Сообщение Добрый Волк » 10 ноя 2017, 18:53

Можно, просто обычно авторы студенческих типовых расчётов применяют именно метод доказательства по определению.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Закрыто

Вернуться в «Разное»