Отношения строгого порядка. Как такое может быть??

Темы из курса высшей математики, которые не вошли в предыдущие разделы.
Mathlife
Сообщения: 3
Зарегистрирован: 04 авг 2017, 16:37

Отношения строгого порядка. Как такое может быть??

Сообщение Mathlife » 04 авг 2017, 16:44

Самостоятельно изучаю высшую математику. Перешла к изучению отношений. Отношением порядка является то, которое тразитивно и антисимметрично. Строгим при этом является то, которое антирефлексивно. В пример приводят отношение < (меньше). С транзитивностью и антирефлексивностью все понятно. Но как оно может быть антисимметрично? Ведь тогда получается, что если а<в и в<а, то а=в. Как так то? Да и получается, что это противоречит антирефлексивности?
Что я не правильно поняла?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1537
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Отношения строгого порядка. Как такое может быть??

Сообщение Добрый Волк » 04 авг 2017, 18:14

Видите ли, для элементов числового множества, на котором определено отношение \(<\), невозможно одновременное выполнение неравенств \(a<b\) и \(b<a\). Например, условия \(2<3\) и \(3<2\) не выполнимы одновременно.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Mathlife
Сообщения: 3
Зарегистрирован: 04 авг 2017, 16:37

Re: Отношения строгого порядка. Как такое может быть??

Сообщение Mathlife » 05 авг 2017, 01:38

Добрый Волк писал(а):
04 авг 2017, 18:14
Видите ли, для элементов числового множества, на котором определено отношение \(<\), невозможно одновременное выполнение неравенств \(a<b\) и \(b<a\). Например, условия \(2<3\) и \(3<2\) не выполнимы одновременно.
Я это понимаю. Отсюда и вопрос. Почему тогда идёт утверждение, что данное отношение антисимметрично, когда антисимметричность как раз говорит об обратном?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1537
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Отношения строгого порядка. Как такое может быть??

Сообщение Добрый Волк » 05 авг 2017, 11:09

Антисимметричность не говорит об обратном :)

Отношение строгого порядка антирефлексивно. Оно не содержит ни одной пары вида \((x,x)\), т.е. в любой паре \((x,y)\) имеем \(x\neq{y}\).

Антисимметричность, в этом случае (для антирефлексивного отношения), по сути, говорит о следующем: пары \((x,y)\) и \((y,x)\) не могут одновременно принадлежать отношению. И для отношения \(<\) это действительно выполнено.

Можно подойти к вопросу и более формально. Согласно определению, отношение \(R\) антисимметрично, если истинно такое высказывание:


\(xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}\)


Для отношения \(<\) это означает, что:


\(x<y\wedge{y<x}\Rightarrow{x=y}\)


Истинно лишь одно из высказываний: \(x<y\) или \(y>x\), поэтому \(x<y\wedge{y<x}\;=\;FALSE\). Предикат \(x=y\) ложен для всех пар из отношения \(<\), т.е. для всех элементов отношения \(<\) предикат \(xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}\) примет вид:


\(\;FALSE\Rightarrow{FALSE}\;=\;TRUE\)


Т.е. предикат \(xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}\) истинный для всех элементов данного отношения.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Mathlife
Сообщения: 3
Зарегистрирован: 04 авг 2017, 16:37

Re: Отношения строгого порядка. Как такое может быть??

Сообщение Mathlife » 05 авг 2017, 21:14

Добрый Волк писал(а):
05 авг 2017, 11:09
Антисимметричность не говорит об обратном :)

Отношение строгого порядка антирефлексивно. Оно не содержит ни одной пары вида \((x,x)\), т.е. в любой паре \((x,y)\) имеем \(x\neq{y}\).

Антисимметричность, в этом случае (для антирефлексивного отношения), по сути, говорит о следующем: пары \((x,y)\) и \((y,x)\) не могут одновременно принадлежать отношению. И для отношения \(<\) это действительно выполнено.

Можно подойти к вопросу и более формально. Согласно определению, отношение \(R\) антисимметрично, если истинно такое высказывание:


\(xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}\)


Для отношения \(<\) это означает, что:


\(x<y\wedge{y<x}\Rightarrow{x=y}\)


Истинно лишь одно из высказываний: \(x<y\) или \(y>x\), поэтому \(x<y\wedge{y<x}\;=\;FALSE\). Предикат \(x=y\) ложен для всех пар из отношения \(<\), т.е. для всех элементов отношения \(<\) предикат \(xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}\) примет вид:


\(\;FALSE\Rightarrow{FALSE}\;=\;TRUE\)


Т.е. предикат \(xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x=y}\) истинный для всех элементов данного отношения.
Спасибо! Вроде разобралась :yes:
А не могли бы Вы привести ещё примеры отношений строгого порядка, не связанных со знаками "меньше/больше", пожалуйста?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1537
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Отношения строгого порядка. Как такое может быть??

Сообщение Добрый Волк » 05 авг 2017, 22:55

Чтобы вам было ещё понятнее, приведу одно свойство, которое является необходимым и достаточным для антисимметричности:


Бинарное отношение \(R\) на множестве \(X\) антисимметрично тогда и только тогда, когда \(R\cap{R^{-1}}\subseteq\id{X}\)


Запись \(\id{X}\) означает диагональ множества \(X\), т.е. множество всех пар вида \((a,a)\), где \(a\in{X}\).

Попробуйте самостоятельно применить записанное выше свойство для отношения \(<\), заданного на некоем числовом множестве \(X\), элементы которого являются действительными числами.

Что касается вопроса относительно примера антисимметричного множества: пусть задано множество \(X=\{a,b,c,d\}\) и отношение \(R=\{(a,a), (a,c), (d,b), (d,d)\}\). Это отношение является антисимметричным. Можете доказать это как с использованием стандартного определения, так и с применением записанного выше свойства.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Закрыто

Вернуться в «Разное»