Доказать

Темы из курса высшей математики, которые не вошли в предыдущие разделы.
kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Доказать

Сообщение kicul » 23 сен 2017, 10:40

Доказать, что множество \(V'={\bar{a}=(a_1,a_2,0,a_4,a_5)|a_i∈R}\)всех 5-мерных арифметических векторов, у которых 3-я компонента равна нулю, образует подпространство пространства \(R^5\)и найти его базис и размерность. Спасибо.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1526
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказать

Сообщение Добрый Волк » 27 сен 2017, 18:35

Вам нужно проверить два свойства множества \(V'\).
  1. Если \(\bar{x}\in{V'}\) и \(\bar{y}\in{V'}\), то \((\bar{x}+\bar{y})\in{V'}\)
  2. Для любого числа \(\lambda\in{R}\) и любого вектора \(\bar{x}\in{V'}\) верно \(\lambda{\bar{x}}\in{L}\)
Вышеупомянутые свойства легко доказываются непосредственной проверкой. Т.е., рассматриваете произвольные векторы \(\bar{x}=\left(x_1;x_2;0;x_4;x_5 \right)\) и \(\bar{y}=\left(y_1;y_2;0;y_4;y_5 \right)\) и находите их сумму \(\bar{x}+\bar{y}\), чтобы показать, что \((\bar{x}+\bar{y})\in{V'}\). Аналогично проверяется и второе свойство.

Тем самым вы докажете, что множество \(V'\) есть подпространство пространства \(R^{(5)}\).

Начните с этого, а далее продолжим относительно размерности и базиса.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Re: Доказать

Сообщение kicul » 05 ноя 2017, 20:04

Пусть a,b \(\in V'\)
Тогда \(\bar{a}= (a_{1}, a_{2}, 0,a_{4},a_{5}),b= (b_{1}, b_{2}, 0,b_{4},b_{5})\) и \( a+b = (a_{1}+b_{1},a_{2}+ b_{2}, 0,a_{4}+ b_{4}, a_{5}+ b_{5})\Rightarrow a+b\in V'\) для любых \(a, b \in V' \)
Для каждого вектора \(a \in V' \) и числа \(\alpha \in P \) вектор \(\alpha a \in V'\), \(\alpha a = \alpha (a_{1}, a_{2}, 0, a_{4}, a_{5})= (\alpha a_{1},\alpha a_{2}, 0, \alpha a_{4}, \alpha a_{5} )\)
Множество V' образует подпространство пространства \(R^{5}\), так как оно само является линейным пространством по отношению к определенным в \(R^{5}\) операциям сложения векторов и умножения их на числа. Найдем базис V'. Рассмотрим следующие векторы из V': \({a_{1}=(1,0,0,0,0)},a_{2}=(0,1,0,0,0),a_{4}= (0,0,1,0,0);a_{5}= (0,0,0,1,0) \) эта система векторов линейно независима.
Пусть \(\alpha _{1}a_{1}+ \alpha _{2}a_{2}+ \alpha _{4}a_{4}+ \alpha _{5}a_{5}=0\)
Тогда \({\alpha_{1}(1,0,0,0,0)}+\alpha_{2}(0,1,0,0,0)+\alpha_{4}(0,0,1,0,0)+a_{5}= \\=(0,0,0,1,0) =(\alpha_{1},0,0,0,0)+(0,\alpha_{2},0,0,0)+(0,0,\alpha_{4},0,0)+(0,0,0,\alpha_{5},0)= (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{4},\alpha_{5} )=\\= 0 = (0,0,0,0)\)\(\Rightarrow\) система линейно независимая dim V' =4.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1526
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказать

Сообщение Добрый Волк » 06 ноя 2017, 10:49

Вектор \(a_4\) не может принадлежать \(V'\), так как у него третья координата не равна нулю.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Re: Доказать

Сообщение kicul » 08 ноя 2017, 19:38

Вектор \(a_{4}\) по условию принадлежит V'. Или я заблуждаюсь? Спасибо.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1526
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказать

Сообщение Добрый Волк » 09 ноя 2017, 10:20

Имеем два факта:
  1. Множество \(V'\) состоит из тех и только тех векторов, у которых третья координата равна нулю.
  2. Вектор \(a_4\) имеет координаты \((0,0,1,0,0)\), т.е. третья координата у него не равна нулю.
Вывод: вектор \(a_4\) не может принадлежать множеству \(V'\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Закрыто

Вернуться в «Разное»