где ошибка при вычислении

Темы из курса высшей математики, которые не вошли в предыдущие разделы.
сергей

где ошибка при вычислении

Сообщение сергей » 06 мар 2018, 09:02

Вычислите интеграл, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Укажите количество членов числового ряда, полученного после интегрирования степенного ряда, необходимое для достижения точности вычислений с погрешностью
\(10^{-5}\)
\(\int_{0}^{1}\frac{ \ln (1+x)^2}{x}dx\)
Решение
\(f(x)=\frac{2\ln (1+x)}{x}\)
\(\int_{0}^{1}\frac{ \ln (1+x)^2}{x}dx=2\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\left ( x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+...\right)dx=\)

\(=2\int_{0}^{1}\left ( 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+...(-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n}+...\right)dx=\)
\(2\left ( x-\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{9}-\frac{x^4}{16}+...+\left ( -1 \right )^{n-1}\frac{x^n}{n^2} \right )\binom{1}{0}=\)
\(=2-\frac{1}{2}+\frac{2}{9}-\frac{1}{8}+...+\left ( -1 \right )^{n-1}\frac{2x^n}{n^2}\)
Получается очень большое n=447

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1526
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: где ошибка при вычислении

Сообщение Добрый Волк » 06 мар 2018, 12:34

В последней строке у вас опечатка, там \(x\) быть не должен. У меня получился такой ряд: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2\cdot(-1)^{n-1}}{n^2}\). Суммировать нужно до тех пор, пока не будет выполнено неравенство \(\left|\frac{2\cdot(-1)^{n-1}}{n^2}\right|<10^{-5}\), что означает выполнение неравенства \(n>\frac{1000}{\sqrt{5}}\), т.е. \(n>448\). Значит, достаточно просуммировать \(n=447\) членов ряда.

А вообще, сумма такого ряда равна \(\frac{\pi^2}{6}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Гость

Re: где ошибка при вычислении

Сообщение Гость » 06 мар 2018, 14:17

а почему в матккаде получается другой ряд
\(x-x^2+\frac{11x^3}{12}-\frac{5x^4}{6}+\frac{137x^5}{180}-...\)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1526
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: где ошибка при вычислении

Сообщение Добрый Волк » 06 мар 2018, 15:56

Я не знаю, что вы вводили в маткад, и откуда взялся этот ряд вообще.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"


Закрыто

Вернуться в «Разное»