где ошибка при вычислении
Добавлено: 06 мар 2018, 09:02
Вычислите интеграл, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Укажите количество членов числового ряда, полученного после интегрирования степенного ряда, необходимое для достижения точности вычислений с погрешностью
\(10^{-5}\)
\(\int_{0}^{1}\frac{ \ln (1+x)^2}{x}dx\)
Решение
\(f(x)=\frac{2\ln (1+x)}{x}\)
\(\int_{0}^{1}\frac{ \ln (1+x)^2}{x}dx=2\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\left ( x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+...\right)dx=\)
\(=2\int_{0}^{1}\left ( 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+...(-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n}+...\right)dx=\)
\(2\left ( x-\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{9}-\frac{x^4}{16}+...+\left ( -1 \right )^{n-1}\frac{x^n}{n^2} \right )\binom{1}{0}=\)
\(=2-\frac{1}{2}+\frac{2}{9}-\frac{1}{8}+...+\left ( -1 \right )^{n-1}\frac{2x^n}{n^2}\)
Получается очень большое n=447
\(10^{-5}\)
\(\int_{0}^{1}\frac{ \ln (1+x)^2}{x}dx\)
Решение
\(f(x)=\frac{2\ln (1+x)}{x}\)
\(\int_{0}^{1}\frac{ \ln (1+x)^2}{x}dx=2\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\left ( x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+...\right)dx=\)
\(=2\int_{0}^{1}\left ( 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+...(-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n}+...\right)dx=\)
\(2\left ( x-\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{9}-\frac{x^4}{16}+...+\left ( -1 \right )^{n-1}\frac{x^n}{n^2} \right )\binom{1}{0}=\)
\(=2-\frac{1}{2}+\frac{2}{9}-\frac{1}{8}+...+\left ( -1 \right )^{n-1}\frac{2x^n}{n^2}\)
Получается очень большое n=447