Не знаю, в тот ли раздел. Вот задача, прошу помощи, хотя бы по первому пункту:
1. Найти ортогональный базис линейной оболочки, натянутой на следующие векторы \(a_1=(1,i,1); a_2=(0,i,0)\)
2. Найти матрицу перехода от базиса \(a_1 a_2\) к ортогональному. Сделать проверку.
3. Найти базис в ортогональном дополнении к \(L(a_1,a_2)\). Сделать проверку.
Найти ортогональный базис линейной оболочки
Re: Найти ортогональный базис линейной оболочки
Насколько я помню, там используется процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Сейчас подробно расписать, к сожалению, не могу - много срочной работы, но завтра вечером, думаю, смогу подробно ответить на ваши вопросы.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Найти ортогональный базис линейной оболочки
Итак, поднял свои старые конспекты, - действительно, для ответа на вопрос первого пункта нужно использовать процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Нам заданы два вектора трёхмерного пространства \(R^3\), причём, насколько я понимаю, скалярное произведение считается по стандартной формуле (т.к. в условии не оговорено обратное). Так как параметр \(i\) в условии не пояснён, то будем считать его просто некоей константой.
Для начала отметим, что векторы линейно независимы. Показать это в нашем случае довольно просто. Обычно исследуют ранг матрицы, столбцы которой образуют заданные векторы. Но для двух векторов трёхмерного пространства можно использовать следующее утверждение: два вектора \(a_1\) и \(a_2\) будут линейно зависимыми, если существует константа \(c \neq 0\) такая, что выполнено равенство \(a_1=c\cdot a_2\). Если такой константы не существует, то векторы \(a_1\), \(a_2\) - линейно независимы. Допустим, такая константа есть в нашем случае, т.е. существует такое число \(c \neq 0\), для которого выполнено равенство:
\((1;i;1)=c\cdot (0,i,0)\), \((1;i;1)= (0;c i;0)\)
Векторы будут равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие координаты. Для равенства \((1;i;1)= (0;c i;0)\) это означает следующее: \(\left\{ \begin{aligned} &1=0; \\ & i=c i; \\ & 1=0. \end {aligned} \right.\). Первое и третье уравнения этой системы дают явное противоречие Поэтому нет такой константы, для которой равенство \(a_1=c\cdot a_2\) выполнено. Вывод: векторы \(a_1\), \(a_2\) - линейно независимы.
Теперь перейдём к процессу ортогонализации. Нам нужно составить систему из двух векторов: \(b_1\), \(b_2\). Согласно процессу Грама-Шмидта, мы принимаем \(b_1=a_1\). Далее, \(b_2=a_2-\frac{a_2\cdot b_1}{b_1\cdot b_1}\cdot b_1\). Имеем:
\(a_2\cdot b_1=a_2 \cdot a_1=(0;i;0)\cdot (1;i;1)=0+i^2+0=i^2;\)
\(b_1\cdot b_1=a_1 \cdot a_1=|a_{1}|^{2}=1^2+i^2+1^2=i^2+2.\)
Итак, \(b_2=(0;i;0)-\frac{i^2}{i^2+2}\cdot (1;i;1)=\left( -\frac{i^2}{i^2+2}; \frac{2i}{i^2+2}; -\frac{i^2}{i^2+2} \right)\)
Окончательно имеем: \(b_1(1;i;1)\), \(b_2\left( -\frac{i^2}{i^2+2}; \frac{2i}{i^2+2}; -\frac{i^2}{i^2+2} \right)\).
Для начала отметим, что векторы линейно независимы. Показать это в нашем случае довольно просто. Обычно исследуют ранг матрицы, столбцы которой образуют заданные векторы. Но для двух векторов трёхмерного пространства можно использовать следующее утверждение: два вектора \(a_1\) и \(a_2\) будут линейно зависимыми, если существует константа \(c \neq 0\) такая, что выполнено равенство \(a_1=c\cdot a_2\). Если такой константы не существует, то векторы \(a_1\), \(a_2\) - линейно независимы. Допустим, такая константа есть в нашем случае, т.е. существует такое число \(c \neq 0\), для которого выполнено равенство:
\((1;i;1)=c\cdot (0,i,0)\), \((1;i;1)= (0;c i;0)\)
Векторы будут равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие координаты. Для равенства \((1;i;1)= (0;c i;0)\) это означает следующее: \(\left\{ \begin{aligned} &1=0; \\ & i=c i; \\ & 1=0. \end {aligned} \right.\). Первое и третье уравнения этой системы дают явное противоречие Поэтому нет такой константы, для которой равенство \(a_1=c\cdot a_2\) выполнено. Вывод: векторы \(a_1\), \(a_2\) - линейно независимы.
Теперь перейдём к процессу ортогонализации. Нам нужно составить систему из двух векторов: \(b_1\), \(b_2\). Согласно процессу Грама-Шмидта, мы принимаем \(b_1=a_1\). Далее, \(b_2=a_2-\frac{a_2\cdot b_1}{b_1\cdot b_1}\cdot b_1\). Имеем:
\(a_2\cdot b_1=a_2 \cdot a_1=(0;i;0)\cdot (1;i;1)=0+i^2+0=i^2;\)
\(b_1\cdot b_1=a_1 \cdot a_1=|a_{1}|^{2}=1^2+i^2+1^2=i^2+2.\)
Итак, \(b_2=(0;i;0)-\frac{i^2}{i^2+2}\cdot (1;i;1)=\left( -\frac{i^2}{i^2+2}; \frac{2i}{i^2+2}; -\frac{i^2}{i^2+2} \right)\)
Окончательно имеем: \(b_1(1;i;1)\), \(b_2\left( -\frac{i^2}{i^2+2}; \frac{2i}{i^2+2}; -\frac{i^2}{i^2+2} \right)\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Найти ортогональный базис линейной оболочки
Теперь насчёт матрицы перехода от одного базиса к иному. Рекомендую для начала глянуть информацию на этой странице. По сути, нам нужно выразить векторы \(b_1\) и \(b_2\) через векторы \(a_1\) и \(a_2\). Говоря более формально, требуется составить систему:
\(\left\{ \begin{aligned} & b_1=\alpha_{11}a_1+\alpha_{12}a_2; \\ & b_2=\alpha_{21}a_1+\alpha_{22}a_2. \end{aligned} \right.\)
Матрица перехода и составляется из коэффициентов этой системы: \(\left(\begin{matrix} \alpha_{11} &\alpha_{12} \\\alpha_{21} &\alpha_{22} \end{matrix}\right)\). Теперь имеет смысл вспомнить результаты предыдущего пункта, согласно которым \(b_1=a_1\) и \(b_2=a_2-\frac{i^2}{i^2+2}b_1=a_2-\frac{i^2}{i^2+2}a_1\). Формально это можно записать так:
\(\left\{ \begin{aligned} & b_1=1\cdot a_1+0\cdot a_2; \\ & b_2=-\frac{i^2}{i^2+2}\cdot a_1+1\cdot a_2. \end{aligned} \right.\)
Отсюда уже видно, каковы именно коэффициенты искомой матрицы.
\(\left\{ \begin{aligned} & b_1=\alpha_{11}a_1+\alpha_{12}a_2; \\ & b_2=\alpha_{21}a_1+\alpha_{22}a_2. \end{aligned} \right.\)
Матрица перехода и составляется из коэффициентов этой системы: \(\left(\begin{matrix} \alpha_{11} &\alpha_{12} \\\alpha_{21} &\alpha_{22} \end{matrix}\right)\). Теперь имеет смысл вспомнить результаты предыдущего пункта, согласно которым \(b_1=a_1\) и \(b_2=a_2-\frac{i^2}{i^2+2}b_1=a_2-\frac{i^2}{i^2+2}a_1\). Формально это можно записать так:
\(\left\{ \begin{aligned} & b_1=1\cdot a_1+0\cdot a_2; \\ & b_2=-\frac{i^2}{i^2+2}\cdot a_1+1\cdot a_2. \end{aligned} \right.\)
Отсюда уже видно, каковы именно коэффициенты искомой матрицы.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: Найти ортогональный базис линейной оболочки
Теперь насчёт базиса в ортогональном дополнении. Нам нужно найти множество векторов, каждый из которых будет перпендикулярен как вектору \(a_1\), так и вектору \(a_2\). Если обозначить представителя искомого множества через \(x\), то должны выполняться два условия: \(a_1\perp x\) и \(a_2\perp x\). Говоря иными словами, будут верны два равенства: \(a_1\cdot x=0\) и \(a_2\cdot x=0\). Т.е., искомое множество векторов можно выявить, решив систему:
\(\left\{ \begin{aligned} & a_1\cdot x=0; \\ & a_2\cdot x=0. \end{aligned} \right.\)
Однако можно пойти иным путём, который в данной ситуации кажется мне несколько более коротким. Рассмотрим некоторый вектор \(c\) из искомого множества. Вектор \(c\) должен удовлетворять условиям \(a_1\perp c\) и \(a_2\perp c\). Т.е., в качестве вектора \(c\) можно принять векторное произведение \(a_1 \times a_2\).
Тогда \(c=a_1\times a_2=(-i,0,i)\). А все множество векторов, перпендикулярных \(a_1\) и \(a_2\), равно множеству векторов, коллинеарных вектору \(c\), т.е. \(x=k\cdot c=(-ki,0,ki)\), где \(k\in R\). Итак, ортогональное дополнение есть множество \(M=\{x| x=(-ki,0,ki), k\in R \}\).
В качестве базиса ортогонального дополнения можно принять вектор \(c\).
\(\left\{ \begin{aligned} & a_1\cdot x=0; \\ & a_2\cdot x=0. \end{aligned} \right.\)
Однако можно пойти иным путём, который в данной ситуации кажется мне несколько более коротким. Рассмотрим некоторый вектор \(c\) из искомого множества. Вектор \(c\) должен удовлетворять условиям \(a_1\perp c\) и \(a_2\perp c\). Т.е., в качестве вектора \(c\) можно принять векторное произведение \(a_1 \times a_2\).
Тогда \(c=a_1\times a_2=(-i,0,i)\). А все множество векторов, перпендикулярных \(a_1\) и \(a_2\), равно множеству векторов, коллинеарных вектору \(c\), т.е. \(x=k\cdot c=(-ki,0,ki)\), где \(k\in R\). Итак, ортогональное дополнение есть множество \(M=\{x| x=(-ki,0,ki), k\in R \}\).
В качестве базиса ортогонального дополнения можно принять вектор \(c\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"