Дополнить базис до базиса

Темы из курса высшей математики, которые не вошли в предыдущие разделы.
0201400
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43

Дополнить базис до базиса

Сообщение 0201400 »

Путь \(V_1\) и \(V_2\) подпространства. Нужно дополнить базис их пересечения до базисов каждого из подпространств \(V_1\), \(V_2\), \(V_1+V_2\).

\(V_1=L(a_1, a_2); a_1=(1,1,0,3,2); a_2=(3,3,0,4,1);\)
\(V_2=L(b_1, b_2,b_3); b_1=(0,2,0,3,3); b_2=(0,1,0,0,0); b_3=(0,1,0,1,1)\)

(не разобрался как поставить значок транспонирования)

Понятно, что для начала хорошо бы найти базис суммы и пересечения. Сделал:
\(V_1+V_2\):\((1,0,0,0,0)
(3,-5,0,0,0)
(0,3,2,0,0)\)


\(V_1\bigcap V_2: (0,0,1/2,0,0)\)

Что имеем теперь? \(dim V_1 = 2; dim V_2=3; dim(V_1+V_2)=3; dim(V_1\bigcap V_2)=1;\)

Как дополнить базис до базиса?

UPD Заметил ошибку, размерность пересечения должна быть равна 2. В процессе решения у меня получились для пересечения такие вектора, но они же л.з. \(V_1\bigcap V_2: (0,0,1/2,0,0)(0,0,3/2,0,0)\). Впрочем вопрос в том, как дополнить базис до базиса
Последний раз редактировалось 0201400 03 апр 2014, 08:56, всего редактировалось 1 раз.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Дополнить базис до базиса

Сообщение Алексей »

Вроде прикинул на скорую руку, получается что векторы \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) линейно зависимы. Если рассмотреть преобразования метода Гаусса, применённые к матрице из данных векторов, то получим примерно такое:

\(\left( \begin{array} {ccccc} 0 & 2 & 0 & 3 & 3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} {ccccc} 0 & 2 & 0 & 3 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\).

Значит, в качестве базисных придётся принимать векторы \(b_1\) и \(b_2\), как-то так...

В общем, я вечером гляну, так как всё это уже благополучно успело забыться, - надо вспоминать :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Дополнить базис до базиса

Сообщение Алексей »

Теперь можно поработать с базисом пересечения и объединения подпространств. Начнём с базиса объединения, для чего поработаем с матрицей, строки которой содержат базисные векторы заданных подпространств:


\(\left( \begin{array} {ccccc} 1 & 1 & 0 & 3 & 2\\ 3 & 3 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 3 & 3 \\ 0 &1 &0 &0 &0 \end{array} \right) \begin{array} {c} a_1 \\a_2 \\ b_1 \\ b_2 \end{array}\rightarrow \left( \begin{array} {ccccc} 1 & 1 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -5 & -5 \\ 0 & 2 & 0 & 3 & 3 \\ 0 &1 &0 &0 &0 \end{array} \right) \begin{array} {c} a_1 \\a_2-3a_1 \\ b_1 \\ b_2 \end{array}\)


Меняем вторую и четвертую строки:

\(\left( \begin{array} {ccccc} 1 & 1 & 0 & 3 & 2\\ 0 &1 &0 &0 &0 \\ 0 & 2 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & -5 \end{array} \right) \begin{array} {c} a_1 \\ b_2 \\ b_1 \\ a_2-3a_1 \end{array} \rightarrow \left( \begin{array} {ccccc} 1 & 1 & 0 & 3 & 2\\ 0 &1 &0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & -5 \end{array} \right) \begin{array} {c} a_1 \\ b_2 \\ b_1-2b_2 \\ a_2-3a_1 \end{array}\rightarrow\\\rightarrow \left( \begin{array} {ccccc} 1 & 1 & 0 & 3 & 2\\ 0 &1 &0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {c} a_1 \\ b_2 \\ b_1-2b_2 \\ 3(a_2-3a_1)+5(b_1-2b_2) \end{array}\)

В базис объединения пространств вошли векторы \(a_1\), \(b_1\) и \(b_2\).

Т.е., \(\dim V_1=\dim V_2=2\), \(\dim (V_1\cup V_2)=3\). Согласно формуле Грассмана имеем:

\(\dim(V_1\cap V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cup V_2)=1.\)

Вопрос в том, какой именно вектор входит в \(V_1\cap V_2\), это я уже после пары посмотрю :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Дополнить базис до базиса

Сообщение Алексей »

Итак, чтобы выяснить, какой именно вектор входит в пространство \(V_1\cap V_2\), рассмотрим равенство для последней строки матрицы, полученной выше: \(3(a_2-3a_1)+5(b_1-2b_2)=\vartheta\), где \(\vartheta\) - нулевой вектор.

\(-9a_1+3a_2=-5b_1+10b_2\)

Тогда вектор \(c_1=-9a_1+3a_2=-5b_1+10b_2=(0,0,0,-15,-15)\), а значит и \(c=-\frac{1}{15}\cdot c_1=(0,0,0,1,1)\) будет принадлежать пересечению подпространств, составляя базис этого пересечения.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Дополнить базис до базиса

Сообщение Алексей »

В принципе, чтобы дополнить базис пересечения до базиса \(V_1\), достаточно взять какой-либо вектор базиса \(V_1\) - например, вектор \(a_1\). Показать линейную независимость этих векторов элементарно.

Чтобы дополнить до базиса \(V_2\) понадобится тоже один вектор, - например, \(b_1\).

Базисом пространства \(V_1\cup V_2\) есть векторы \(a_1\), \(b_1\), \(b_2\). Дополним вектор \(c\) парой векторов \(a_1\) и \(b_1\). Навскидку - они линейно независимы, но это желательно проверить.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Закрыто