Прошу помочь с двумя матричными уравнениями

Действия с матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений методами Крамера, Гаусса и с использованием обратной матрицы.
GroovyD
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 28 авг 2018, 11:20

Прошу помочь с двумя матричными уравнениями

Сообщение GroovyD » 28 авг 2018, 11:46

С начала августа готовлюсь к пересдаче экзамена по математике в ВУЗе по Вашему сайту. Очень Вам благодарен, и вот сейчас решил прорешать то, что было на самом экзамене. С первым большой вопрос, получаю все результаты, но как потом найти x? Во втором вычисляю определитель и через квадратное уравнение получаю "-1", похоже на правду. Фотографию с двумя заданиями прикрепил, спасибо!
Вложения
Itogovaq.jpg
Itogovaq.jpg (49.02 КБ) 249 просмотров
Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1495
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Прошу помочь с двумя матричными уравнениями

Сообщение Добрый Волк » 28 авг 2018, 17:16

Давайте начнём с первого задания, т.е. \(A\cdot{X}\cdot{A^T}=B\). Наша цель: преобразовать данное уравнение таким образом, чтобы в левой части осталась лишь неизвестная матрица \(X\). Отмечу, что для дальнейших действий важен тот факт, что \(\det{A}\neq{0}\) (это легко проверить непосредственным вычислением определителя). Это важно, так как обратная матрица \(A^{-1}\) существует только при условии \(\det{A}\neq{0}\).

Домножим обе части данного уравнения на \(A^{-1} слева\). Тогда уравнение примет такой вид:

\(
A^{-1}\cdot{A}\cdot{X}\cdot{A^T}=A^{-1}\cdot{B}
\)

Так как \(A^{-1}\cdot{A}=E\) (здесь \(E\) - единичная матрица), то равенство станет таким:

\(
{E}\cdot{X}\cdot{A^T}=A^{-1}\cdot{B}
\)

Далее, с учётом того, что \(E\cdot{X}=X\), будем иметь:

\(
{X}\cdot{A^T}=A^{-1}\cdot{B}
\)

Вам осталось избавиться лишь от \(A^{T}\) в левой части. Для этого домножьте обе части равенства на \(\left(A^T\right)^{-1}\) справа. Вам также будет полезным такое равенство: \(\left(A^T\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
GroovyD
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 28 авг 2018, 11:20

Re: Прошу помочь с двумя матричными уравнениями

Сообщение GroovyD » 29 авг 2018, 10:49

Спасибо, теперь все понял!
Ответить

Вернуться в «Матрицы и системы уравнений»