Уравнение с матрицей

Действия с матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Уравнение с матрицей

Сообщение Anuto4ka »

Помогите пожалста с заданием. Решить уравнение:
(1 2
-1 1) *Х*
-1 0
-2 4
=
-4 20
1 4

хотя бы начало подскажите
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1604
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Алексей »

Поможем, конечно :) Только сначала вопрос с условием прояснить нужно. Насколько я понял, имеется в виду вот такое уравнение:

\(\begin{pmatrix} 1 &2 \\ -1&1 \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} -1 &0 \\-2 &4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 &20 \\ 1&4 \end{pmatrix}\)

Таким было изначальное условие?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Anuto4ka »

Да. Такое условие. С чего начать подскажите
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1604
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Алексей »

Я бы начал с того, что обозначил матрицы. Например, \(A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ -1&1 \end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ -2&4 \end{pmatrix}\) и \(C=\begin{pmatrix} -4 &20 \\ -1&4 \end{pmatrix}\). Тогда ваше уравнение станет таким: \(A\cdot X\cdot B=C\). Дальше суть проста: нужно сделать так, чтобы в левой части осталась только матрица Х и ничего более. Для этого сначала домножим обе части уравнения на \(A^{-1}\) слева:
\(A^{-1}\cdot A\cdot X\cdot B=A^{-1}\cdot C\)

Так как \(A^{-1}\cdot A=E\) (Е - это единичная матрица), то уравнение \(A^{-1}\cdot A\cdot X\cdot B=A^{-1}\cdot C\) станет таким:

\(E\cdot X\cdot B=A^{-1}\cdot C\)

Далее: так как \(E\cdot X=X\), то уравнение \(E\cdot X\cdot B=A^{-1}\cdot C\) примет вид:

\(X\cdot B=A^{-1}\cdot C\)

Попробуйте теперь самостоятельно домножить обе части полученного уравнения на матрицу \(B^{-1}\) справа.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Anuto4ka »

Вроде сделала. Х=A^-1*С*В^-1. Так?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1604
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Алексей »

Теперь нужно найти \(A^{-1}\) и \(B^{-1}\). Посмотрите как решается пример №2 на этой странице.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Anuto4ka »

Вроде получилось.
A^-1=1/3 -2/3
1/3 1/3

B^-1=-1 0
-1/2 1/4

Так?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1604
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Алексей »

Именно так. Только я бы записал найденные матрицы в несколько иной форме:

\(A^{-1}=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix} \;\; B^{-1}=-\frac{1}{4}\cdot \begin{pmatrix} 4 &0 \\2 &-1 \end{pmatrix}\)

И тогда получим:

\(X=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4 &20 \\1 &4 \end{pmatrix}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot \begin{pmatrix} 4 &0 \\2 &-1 \end{pmatrix}\)

Это выражение можно несколько упростить, если перемножить дроби, т.е. учесть \(\frac{1}{3}\cdot \left( - \frac{1}{4} \right)=-\frac{1}{12}\):

\(X=-\frac{1}{12}\cdot \begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4 &20 \\1 &4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 &0 \\2 &-1 \end{pmatrix}\)
А дальше останется только перемножить матрицы.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Anuto4ka »

Тут немного сложновато :oops: У меня в конспекте есть пример с двумя матрицами но непонятно написан. Покажите пожалуйста как их правильно умножить
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1604
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Алексей »

С умножением тут несложно. Сначала перемножим матрицы \(\begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix}\) и \(\begin{pmatrix} -4 &20 \\1 &4 \end{pmatrix}\).

Сначала поработаем с первой строкой матрицы №1 и первым столбцом матрицы №2. Перемножим их соответствующие элементы и сложим результаты:
\(1\cdot(-4)+(-2)\cdot 1=-6\)

По сути, мы нашли первый элемент матрицы, которую нужно получить в результате, т.е.

\(\begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -4 &20 \\1 &4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 &* \\ * &* \end{pmatrix}\)

Звёздочками обозначены те элементы, которые ещё предстоит найти.

Теперь перемножим элементы первой строки матрицы №1 и второго столбца матрицы №2, сложив полученные результаты:

\(1\cdot 20+(-2)\cdot 4=-12\)

Теперь у нас есть уже два элемента матрицы-ответа:

\(\begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -4 &20 \\1 &4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 & -12 \\ * &* \end{pmatrix}\)

По такому же принципу заполняется и вторая строка.

Перемножим элементы второй строки матрицы №1 и первого столбца матрицы №2, сложив полученные результаты:

\(1\cdot(-4)+1\cdot1=-3\)

Перемножим элементы второй строки матрицы №1 и второго столбца матрицы №2, сложив полученные результаты:

\(1\cdot 20+1\cdot 4=24\)

В итоге получаем:

\(\begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -4 &20 \\1 &4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 & -12 \\ -3 & 24 \end{pmatrix}\)

Тогда для матрицы Х будем иметь:

\(X=-\frac{1}{12}\cdot \begin{pmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4 &20 \\1 &4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 &0 \\2 &-1 \end{pmatrix}=\\= -\frac{1}{12} \begin{pmatrix} -6 & -12 \\ -3 & 24 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 &0 \\2 &-1 \end{pmatrix}\)

Теперь Вам останется только перемножить матрицы \(\begin{pmatrix} -6 & -12 \\ -3 & 24 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 &0 \\2 &-1 \end{pmatrix}\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить