Метод Гаусса

Действия с матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
shmatrica

Метод Гаусса

Сообщение shmatrica »

Ребята, нужна помощь. Нужно решить методом Гаусса
1 -2 -1 3 | 5
4 1 1 2 | 13
7 4 3 1 | 21
2 5 3 -4 | 3
Я решал по примеру отсюда и в итоге 2 строки стали нулевыми, осталось:
1 -2 -1 3 |3
0 9 5 -10 |-7
Что дальше или решений нет?
Заранее спасибо :)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Метод Гаусса

Сообщение Алексей »

Матрицу вы преобразовали верно. Далее есть два пути: перейти к системе или же дорешать в матричной форме. Я предпочитаю именно второй вариант, о котором писал в примере №1 на этой странице. Перенося за черту третий и четвёртый столбцы (они соответствуют переменным \(x_3\) и \(x_4\)), получим новую матрицу. Разумеется, стоит учесть, что такой "перенос за черту" означает перенос переменных в правые части равенств, поэтому знаки переносимых элементов изменятся на противоположные:

\(\left(\begin{array} {cccc|c} 1 & -2 & -1 & 3 & 3\\0 & 9 & 5 & -10 & -7\end{array}\right)\rightarrow

\left(\begin{array} {cc|ccc} 1 & -2 & 3 & 1 & -3\\0 & 9 & -7 & -5 & 10\end{array}\right)\)

После этого делим вторую строку на 9 и следующим действием прибавляем к первой строке удвоенную вторую:

\(\left(\begin{array} {cc|ccc} 1 & -2 & 3 & 1 & -3\\0 & 9 & -7 & -5 & 10\end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0} \\ II:9 \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array} {cc|ccc} 1 & -2 & 3 & 1 & -3\\0 & 1 & -7/9 & -5/9 & 10/9\end{array}\right)
\begin{array} {l} I+2\cdot{II} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow\ldots\)

Далее останется лишь записать ответ.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
shmatrica

Re: Метод Гаусса

Сообщение shmatrica »

Спасибо большое!
shmatrica

Re: Метод Гаусса

Сообщение shmatrica »

Добрый Волк писал(а):Матрицу вы преобразовали верно. Далее есть два пути: перейти к системе или же дорешать в матричной форме. Я предпочитаю именно второй вариант, о котором писал в примере №1 на этой странице. Перенося за черту третий и четвёртый столбцы (они соответствуют переменным \(x_3\) и \(x_4\)), получим новую матрицу. Разумеется, стоит учесть, что такой "перенос за черту" означает перенос переменных в правые части равенств, поэтому знаки переносимых элементов изменятся на противоположные:

\(\left(\begin{array} {cccc|c} 1 & -2 & -1 & 3 & 3\\0 & 9 & 5 & -10 & -7\end{array}\right)\rightarrow

\left(\begin{array} {cc|ccc} 1 & -2 & 3 & 1 & -3\\0 & 9 & -7 & -5 & 10\end{array}\right)\)

После этого делим вторую строку на 9 и следующим действием прибавляем к первой строке удвоенную вторую:

\(\left(\begin{array} {cc|ccc} 1 & -2 & 3 & 1 & -3\\0 & 9 & -7 & -5 & 10\end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0} \\ II:9 \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array} {cc|ccc} 1 & -2 & 3 & 1 & -3\\0 & 1 & -7/9 & -5/9 & 10/9\end{array}\right)
\begin{array} {l} I+2\cdot{II} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow\ldots\)

Далее останется лишь записать ответ.
А ответ в матричном виде оставить?

Получилось:

1 0 | 13/9 -1/9 -7/9
0 1 | -7/9 -5/9 10/9
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Метод Гаусса

Сообщение Алексей »

У меня получился несколько иной результат:

\(\left(\begin{array} {cc|ccc} 1 & 0 & 31/9 & -1/9 & -7/9\\0 & 1 & -7/9 & -5/9 & 10/9\end{array}\right)\)

Ответ записываем в виде системы. Например, из первой строки полученной матрицы имеем: \(x_1=\frac{31}{9}-\frac{1}{9}x_3-\frac{7}{9}x_4\). Аналогично из второй строки записываем \(x_2\). Таким образом, переменные \(x_1\) и \(x_2\) будут связанными, а переменные \(x_3\), \(x_4\) - свободными.

\(\left\{\begin{aligned}&x_1=\frac{31}{9}-\frac{1}{9}x_3-\frac{7}{9}x_4;\\&x_2=\ldots;\\&x_3\in{R},\,x_4\in{R}.\end{aligned}\right.\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
shmatrica

Re: Метод Гаусса

Сообщение shmatrica »

А, да, нашел ошибку, спасибо.
А разве в этой системе есть X5?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Метод Гаусса

Сообщение Алексей »

shmatrica писал(а):А разве в этой системе есть X5?
Нету - это я увлекся немного, перечисляя переменные :) Переменной \( x_5\) там не будет, а всё остальное остаётся в силе.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить