Прошу вашей помощи!

Векторы, прямые, плоскости, кривые второго порядка, поверхности.
Гость11

Прошу вашей помощи!

Сообщение Гость11 »

Написать уравнения сторон треугольника, зная, что одна из вершин треугольника лежит в точке (1;-1), и уравнения двух высот 3x-5y+1=0 и 2x+3y-8=0
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Прошу вашей помощи!

Сообщение Алексей »

Эта задача решается за несколько шагов. Для начала стоит убедиться, что заданные высоты не выходят из точки \((1;-1)\). Для этого достаточно подставить координаты данной точки в уравнения высот.

Далее, для наглядности рассуждений введём некоторые обозначения:


Отправка.png
Отправка.png (9.46 КБ) 2164 просмотра


Составим, например, уравнение прямой \(BC\). Так как \(AH_1\perp{BC}\), то нормальный вектор прямой \(AH_1\), т.е. \(\bar{n}_1(3;-5)\) будет направляющим вектором прямой \(BC\). Зная направляющий вектор и точку, через которую проходит прямая, легко составить уравнение по известной формуле.

Аналогично составляется и уравнение стороны \(AC\).

Что касается уравнения стороны \(AB\), то здесь можно учесть, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. На рисунке это точка \(F\). Найдя координаты точки \(F\) как точки пересечения заданных высот \(AH_1\) и \(BH_2\), вы сможете определить координаты вектора \(\overline{CF}\). А этот вектор является нормальным вектором стороны \(AB\).
Останется лишь найти одну из точек (\(A\) или \(B\)). Точку \(A\), например, вы получите как точку пересечения прямой \(AC\) (её вы нашли ранее) и высоты \(BH_2\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить