Составить общее уравнение кривой второго порядка

Векторы, прямые, плоскости, кривые второго порядка, поверхности.
kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Составить общее уравнение кривой второго порядка

Сообщение kicul »

Найти геометрическое место центров окружностей, проходящих через точку А (-1;4) и касающихся окружностей
\(x^{2}+y ^{2}+18x+8y-3=0\)
\(y=\sqrt{(x+1)^{2}+ (y-4)^{2} }\)
\((y)^{2}=(\sqrt{(x+1)^{2}+ (y-4)^{2} })^{2}\)
\(y^{2}=(x+1)^{2}+(y-4)^{2}\)
\(y^{2}-(y-4)^{2}=(x+1)^{2}\)
\(y^{2}-(y^{2}-8y+16)=(x+1)^{2}\)
\(y^{2}-y^{2}+8y-16=(x+1)^{2}\)
\(8y=(x+1)^{2}+16\)
\(y=\frac{ (x+1)^{2} }{ 8 }+2\)
\(x^{2}+18x)+(y ^{2}+8y)-3=0\)
\((x^{2}+18x+81)-81+(y ^{2}+8y+16)-16-3=0\)
\((x+9)^{2}+(y+4)^{2}-100=0\)
\((x+9)^{2}+(y+4)^{2}=100\)
Составить общее уравнение кривой второго порядка с целыми несократимыми коэффициентами, первый ненулевой коэффициент положительный. Спасибо.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Составить общее уравнение кривой второго порядка

Сообщение Алексей »

kicul писал(а): 14 янв 2018, 13:19 Найти геометрическое место центров окружностей, проходящих через точку А (-1;4) и касающихся окружностей
\(x^{2}+y ^{2}+18x+8y-3=0\)
У вас говорится про окружности, однако записано уравнение лишь одной окружности. Это опечатка или просто не хватает ещё одного уравнения? :?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Re: Составить общее уравнение кривой второго порядка

Сообщение kicul »

Второго уравнения нет.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Составить общее уравнение кривой второго порядка

Сообщение Алексей »

kicul писал(а): 15 янв 2018, 09:17 Второго уравнения нет.
Тогда, насколько я понимаю, условие должно быть таким:
Найти геометрическое место центров окружностей, проходящих через точку \(A(-1;4)\) и касающихся окружности \(x^2+y^2+18x+8y-3=0\).
Для начала стоит отметить, что заданная нам окружность (обозначим её \(\alpha\)) имеет центр в точке \(O(-9;-4)\) и радиус \(R=10\). Несложно показать, что точка \(A\) лежит вне \(\alpha\). Для этого достаточно учесть, что для всех точек, расположенных внутри и на окружности \(\alpha\), выполнено такое неравенство:

\((x+9)^2+(y+4)^2\leqslant{10}\)


Подставляя координаты точки \(A\) в данное неравенство, убеждаемся, что точка \(A\) лежит вне \(\alpha\), так как неравенство не выполнено.

Пусть \(M(x,y)\) - точка, принадлежащая искомому геометрическому множеству точек, т.е. \(M(x,y)\) - центр окружности, которая проходит через точку \(A(-1;4)\) и касается \(\alpha\). Имеем два варианта расположения окружности с центром в точке \(M(x,y)\) и окружности \(\alpha\):


Рисунок.png
Рисунок.png (21.22 КБ) 4903 просмотра


Для данных окружностей имеем: \(r=AM\), \(|OM-r|=R\) (убедитесь в этом самостоятельно). Таким образом, \(|OM-AM|=10\). Так как \(AM=\sqrt{(x+1)^2+(y-4)^2}\), \(OM=\sqrt{(x+9)^2+(y+4)^2}\), то получим следующее равенство:


\(
\left|\sqrt{(x+9)^2+(y+4)^2}-\sqrt{(x+1)^2+(y-4)^2}\right|=10
\)


Далее остаётся лишь упростить полученное выражение. Можно попробовать начать с того, что возвести обе части равенства в квадрат. Разумеется, все изложенные выше рассуждения надо перепроверить. У меня получился такой результат:


\(9x^2-32xy+90x+9y^2-160y+400=0\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
kicul
Сообщения: 58
Зарегистрирован: 29 дек 2016, 08:57

Re: Составить общее уравнение кривой второго порядка

Сообщение kicul »

кривой второго порядка.jpg
кривой второго порядка.jpg (250.92 КБ) 4819 просмотров
Уравнение такое получилось. Спасибо.
Ответить