Собственные числа

Действия с матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Ирина
Сообщения: 1
Зарегистрирован: 12 окт 2014, 15:24

Собственные числа

Сообщение Ирина »

D=[0 1 5
2 1 -1
5 1 0] ,нужно проверить явл ли эти числа -5 и 3 собственными. Подскажите пожалуйста,как это записать?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Уравнение с матрицей

Сообщение Алексей »

Вы решили продолжить существующую тему? :) Минуту, я выделю этот вопрос в отдельную тему.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Собственные числа

Сообщение Алексей »

Итак, собственные числа матрицы A удовлетворяют равенству:

\(\det (A-\lambda \cdot E)=0.\)

Здесь \(E=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{array} \right)\)
. Матрица A у вас задана по условию, \(A=\left(\begin{array} {ccc} 0 & 1 & 5 \\
2 & 1 & -1\\
5 & 1 & 0\\
\end{array} \right)\)
. Мы хотим проверить, правда ли число -5 является собственным. Иными словами, правда ли то, что определитель матрицы \(A-(-5)\cdot E=A+5E\) равен нулю. Для того, чтобы вычислить определитель матрицы \(A+5E\) нужно найти саму матрицу \(A+5E\).

\(A+5E=\left(\begin{array} {ccc} 0 & 1 & 5 \\
2 & 1 & -1\\
5 & 1 & 0\\
\end{array} \right)+5\cdot \left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{array} \right)=...\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Женя

Re: Собственные числа

Сообщение Женя »

Подскажите, пожалуйста, подставляя \(\lambda _{2}\) в слу (3п-ка), получила 3 одинаковых уравнения, не пойму, какая будет зависимость неизвестных, как тогда найти собственный вектор?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Собственные числа

Сообщение Алексей »

Женя писал(а): 22 дек 2022, 14:14 Подскажите, пожалуйста, подставляя \(\lambda _{2}\) в слу (3п-ка), получила 3 одинаковых уравнения, не пойму, какая будет зависимость неизвестных, как тогда найти собственный вектор?
Я вас совсем не понимаю. Что значит "3п-ка"и о каких уравнениях речь?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Женя

Re: Собственные числа

Сообщение Женя »

А, извините. Изначально нужно было найти собственные числа и собственные вектора матрицы А третьего порядка (3 п-ка). Собственные числа я нашла (по инструкции в интернете), затем, подставив \(\lambda_{1}\) в определитель характеристического уравнения и составив соответствующую систему уравнений, нашла 1 собственный вектор. А при \(\lambda_{2}\) у меня получилась система из трех одинаковых уравнений, и я не знаю как решить эту систему и найти второй собственный вектор.
А=\(\left( \begin{array} {ccc} 7 &-12 &6 \\ 10 &-19 &10 \\ 12 &-24 &13 \end{array} \right)\), \(\lambda_{i}\) получились равными -1 и 1. При \(\lambda_{2}\)=1, у меня получилась система одинаковых уравнений: \(\left\{ \begin{aligned} & 6x-12y+6z=0; \\ & 10x-20y+10z=0; \\ & 12x-24y+12z=0. \end{aligned} \right.\)
Подскажите, пожалуйста, что дальше? В инструкции такого примера не было :?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Собственные числа

Сообщение Алексей »

По сути, ваша система эквивалентна уравнению \(x-2y+z=0\), откуда имеем \(x=2y-z\).

Полагая сперва \(y=1\), \(z=0\), а затем \(y=0\), \(z=1\), вы получите два вектора.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить