Найти объем отсеченной части цилиндра

Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и обьёмов тел. Несобственные интегралы.
Bani
Сообщения: 1
Зарегистрирован: 13 мар 2016, 21:23

Найти объем отсеченной части цилиндра

Сообщение Bani »

Доброго времени суток,

не могу сообразить как решить следующую задачу: цилиндр радиуса R пересечен плоскостью, проходящей через диаметр основания под углом \( \alpha\) к плоскости основания. Найти объем отсеченной части.
Буду признателен за описание шагов решения.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1575
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Найти объем отсеченной части цилиндра

Сообщение Алексей »

Добрый день! Здесь работает формула вида \(V=\int\limits_{\alpha}^{\beta}S(u)du\). Проще всего оси координат расположить так, как показано на рисунке: ось Ox направить по диаметру, а ось Oy провести через центр окружности основания перпендикулярно оси Ox. Тогда тело можно разбить на два одинаковых объема (слева и справа от оси Oy). Т.е. можно найти \(\frac{1}{2}V\), расположенную справа от оси Oy.

Отправка.png
Отправка.png (14.14 КБ) 3689 просмотров

В треугольнике \(\Delta{AMN}\) получим:

\(S_{\Delta{AMN}}=\frac{1}{2}AM\cdot{MN}=\frac{1}{2}\cdot{y}\cdot{y\tg\alpha}=\frac{y^2\tg\alpha}{2}.\)

Так как для половины объёма \(0 \leqslant y \leqslant {R}\), то остаётся вычислить определенный интеграл от функции \(S(y)=\frac{y^2\tg\alpha}{2}\) в пределах от 0 до \(R\). Разумеется, полученный результат нужно будет умножить на два.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить

Вернуться в «Определённые интегралы»