вычислить интеграл, используя замену переменных
вычислить интеграл, используя замену переменных
вычислить интеграл \(\int\limits_{\pi}^{2\pi}\cos(x+5)dx\), используя замену переменных.
Re: вычислить интеграл, используя замену переменных
Вы не будете возражать, если я подкорректирую картинку, набрав ее в виде такой вот формулы: \(\int\limits_{\pi}^{2\pi}\cos(x+5)dx\)?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: вычислить интеграл, используя замену переменных
конечно корректируйте!))
Re: вычислить интеграл, используя замену переменных
Саму замену вы тогда верно угадали: \(t=x+5\). Если \(t=x+5\), то \(x=t-5\), поэтому \(dx=(t-5)'dt=1\cdot dt=dt\). Пределы интегрирования изменятся. Если \(x_1=\pi\), то \(t_1=\pi +5\). Аналогично, \(t_2=2\pi+5\).
\(\int\limits_{\pi}^{2\pi}\cos(x+5)dx=\int\limits_{\pi+5}^{2\pi+5}\cos t dt=\sin(2\pi+5)-\sin(\pi+5)\)
Насколько я понял, возникла проблема с последним преобразованием?
\(\int\limits_{\pi}^{2\pi}\cos(x+5)dx=\int\limits_{\pi+5}^{2\pi+5}\cos t dt=\sin(2\pi+5)-\sin(\pi+5)\)
Насколько я понял, возникла проблема с последним преобразованием?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: вычислить интеграл, используя замену переменных
да...до этого момента разобралась...а вот дальше..я не очень понимаю все эти тригонометрические вещи..и поэтому как вычислить из синуса другой синус не понимаю... первое, что приходит на ум - это разложить синус суммы))
Re: вычислить интеграл, используя замену переменных
Вы сильно усложните себе решение этим преобразованием, - хотя оно возможно, конечно. Дело в том, что синус - функция периодическая, повторяющая свои значения через \(2\pi\). А это значит, что \(\sin(2\pi+5)=\sin 5\). Если в синусе или косинусе стоит \(2\pi\), то его можно смело отбрасывать. Далее, что касается второго синуса, то можете глянуть табличку на второй странице этого документа. Для второго синуса получим: \(\sin(\pi+5)=-\sin 5\). Ну, и итог таков:Annetta писал(а):первое, что приходит на ум - это разложить синус суммы))
\(\sin(2\pi+5)-\sin(\pi+5)=\sin 5 -(-\sin 5)=2\sin 5\)
Всё гораздо проще, чем кажется на первый взгляд
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: вычислить интеграл, используя замену переменных
это же формулы приведения...как я могла забыть!.. мне стыдно) извините) всё понятно) спасибо большое)
Re: вычислить интеграл, используя замену переменных
Да не за что Кстати, насчет формул приведения: я их сам не могу запомнить, еще класса с восьмого Постоянно смотрю в таблицу
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Re: вычислить интеграл, используя замену переменных
если не трудно, посмотрите еще вот это...я где-то ошиблась..но где не пойму...
- Вложения
-
- nxH7uPpLQTk.jpg (128.47 КБ) 9855 просмотров
Re: вычислить интеграл, используя замену переменных
Наверное, я вас сейчас немного разочарую, - этот интеграл крайне прост Для него можно сразу написать, что \(\int\limits_{-1}^{1}\mathrm{arctg}x\;dx=0\). Дело в том, что пределы интегрирования (т.е. -1 и 1) симметричны относительно нуля (т.е. находятся на равном расстоянии от нуля). А функция \(\mathrm{arctg}\;x\) - нечётная.
Есть теорема, которая говорит прямо и недвусмысленно: интеграл от нечётной функции при симметричных пределах интегрирования равен нулю. Вот и всё решение
Есть теорема, которая говорит прямо и недвусмысленно: интеграл от нечётной функции при симметричных пределах интегрирования равен нулю. Вот и всё решение
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"