Диф. уравнение с постоянными переменными.

Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли и т.д. Понижение порядка дифференциального уравнения. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Tihonovakati
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 26 фев 2019, 21:38

Диф. уравнение с постоянными переменными.

Сообщение Tihonovakati » 14 мар 2019, 15:33

Добрый день. Опять нужна помощь))). нужно решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Какой лучше метод подобрать? начала с того что приравняла к 0. получились корни: \(1+/- \sqrt{2}\). В итоге Y общего неоднородного = \(С1е^{(1-\sqrt{2)x}}\)+\(C2e^{(1+\sqrt{2})x}\). Каким методом будет проще действовать дальше? и каким образом искать производные из этого?))))

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1524
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Диф. уравнение с постоянными переменными.

Сообщение Добрый Волк » 14 мар 2019, 16:27

Добрый день! Я не совсем понял, какие у вас корни вышли, и зачем в записи числа черта дроби. Если у вас корни характеристического уравнения имеют вид \(k_1=1-\sqrt{2}\) и \(k_2=1+\sqrt{2}\), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения будет таким:

\(
y=C_1e^{(1-\sqrt{2})x}+C_2e^{(1+\sqrt{2})x}
\)

Это ответ, и никакие производные искать далее нет необходимости. Или же покажите условие задачи, которое было у вас изначально - возможно, тогда станет яснее.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Tihonovakati
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 26 фев 2019, 21:38

Re: Диф. уравнение с постоянными переменными.

Сообщение Tihonovakati » 15 мар 2019, 06:51

Дробь говорила о том, что корня 2 (один со знаком +, другой со знаком -)))), не нашла как это обозначить в редакторе. Условие в Задании №9. То есть не нужно искать частное решение?
Вложения
кр матем.jpg
кр матем.jpg (149.55 КБ) 132 просмотра

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1524
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Диф. уравнение с постоянными переменными.

Сообщение Добрый Волк » 15 мар 2019, 08:23

Насколько я вижу, у вас имеется неоднородное уравнение. Ранее найденное решение - это решение соответствующего однородного уравнения:

\(
\bar{y}=C_1e^{(1-\sqrt{2})x}+C_2e^{(1+\sqrt{2})x}
\)

Частное решение неоднородного уравнения здесь нужно искать в виде \(u=a\cdot{e^{-x}}\). Т.е. вам нужно подставить функцию \(u\) в уравнение \(u''-2u'-u=e^{-x}\) и выяснить, чему равен коэффициент \(a\).

Общее решение неоднородного уравнения будет записано в такой форме:

\(
y=\bar{y}+u
\)

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Tihonovakati
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 26 фев 2019, 21:38

Re: Диф. уравнение с постоянными переменными.

Сообщение Tihonovakati » 15 мар 2019, 10:31

Спасибо огромное! Очень помогли. :kiss:

Ответить

Вернуться в «Дифференциальные уравнения»