Доказать по определению предела, что

Первый и второй замечательный пределы. Вычисление пределов как с использованием правила Лопиталя, так и без оного. Исследование функций на непрерывность.
nikass88
Сообщения: 1
Зарегистрирован: 26 дек 2019, 06:36

Доказать по определению предела, что

Сообщение nikass88 »

Доказать по определению предела, что
Только 1.5 задание
Вложения
R4Bb8KCoGnc.jpg
R4Bb8KCoGnc.jpg (42.17 КБ) 75 просмотров

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1540
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказать по определению предела, что

Сообщение Добрый Волк »

Посмотрите пример и решите по аналогии.

Докажем, что \(\lim_{n\to\infty}a_n=a\), если \(a_n=\frac{2n+3}{n+5}\), \(a=2\).

Число \(a=2\) будет пределом последовательности \(\left\{a_n\right\}\), если для любого \(\varepsilon\gt{0}\) существует такой номер \(N(\varepsilon)\), что для всех номеров \(n\ge{N(\varepsilon)}\) выполняется неравенство \(\left|a_n-2\right|\lt\varepsilon\).


С учётом того, что \(n+5\gt{0}\) при всех \(n\in{N}\), получим:

\(
\left|a_n-2\right|
=\left|\frac{2n+3}{n+5}-2\right|
=\left|-\frac{7}{n+5}\right|
=\frac{7}{n+5}.
\)

Следовательно, неравенство \(\left|a_n-2\right|\lt\varepsilon\) будет выполнено при \(\frac{7}{n+5}\lt\varepsilon\), откуда получим:

\(
n\gt\frac{7}{\varepsilon}-5\;\;\; (*)
\)

Таким образом, в качестве номера \(N(\varepsilon)\) можно взять любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству (*).

Так как \(\left[\frac{7}{\varepsilon}-5\right]\ge{-5}\), то число \(\left[\frac{7}{\varepsilon}-5\right]+6\) - натуральное. При этом \(\left[\frac{7}{\varepsilon}-5\right]+6\gt\frac{7}{\varepsilon}-5\), т.е. рассматриваемое число удовлетворяет неравенству (*). Следовательно, принимая \(N(\varepsilon)=\left[\frac{7}{\varepsilon}-5\right]+6\) получим, что при всех \(n\ge{N(\varepsilon)}\) выполнено неравенство \(\left|a_n-a\right|\lt\varepsilon\), что и доказывает утверждение \(\lim_{n\to\infty}a_n=a\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Пределы. Исследование функций на непрерывность.»