Проекции векторов

Векторы, прямые, плоскости, кривые второго порядка, поверхности.
milkyway11
Сообщения: 1
Зарегистрирован: 25 окт 2021, 22:45

Проекции векторов

Сообщение milkyway11 »

Дан правильный тетраэдр и вектор, который может быть абсолютно любым. Необходимо найти сумму проекций этого вектора на грани тетраэдра
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1627
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Проекции векторов

Сообщение Алексей »

Полагаю, должна сработать такая идея: рассмотрите в качестве базиса векторы, на которых построен тетраэдр. Например, обозначим их как \(\bar{a}\), \(\bar{b}\) и \(\bar{c}\). Тогда произвольный вектор \(\bar{x}\) можно записать так:

\(
\bar{x}
=k_1\bar{a}+k_2\bar{b}+k_3\bar{c}
\)

Пусть грани пирамиды - это плоскости \(\alpha_i\), \(i=\overline{1,4}\).

Проекция обладает свойством линейности, т.е.

\(
\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{x}
=k_1\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{a}+k_2\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{b}+k_3\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{c}
\)

Суммируя данные равенства, получим примерно следующее:

\(
\sum\limits_{i=1}^{4}\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{x}
=k_1\sum\limits_{i=1}^{4}\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{a}+k_2\sum\limits_{i=1}^{4}\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{b}+k_3\sum\limits_{i=1}^{4}\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{c}
\)

Вообще, по идее, достаточно найти \(\sum\limits_{i=1}^{4}\text{Пр}_{\alpha_i}\bar{a}\), так как остальные суммы в правой части получатся исходя из соображений симметрии. Спроектировать вектор ребра пирамиды на грани, мне кажется, должно получиться.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить