Полярные координаты

Вычисление двойных и тройных интегралов в различных системах координат. Применение указанных интегралов для вычисления площадей, масс, моментов инерции и так далее.
mamaka85
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 04 сен 2014, 21:59

Полярные координаты

Сообщение mamaka85 » 05 сен 2014, 00:08

\(\int\limits_{-1}^{1}dx \int\limits_{-\sqrt{1-x^2} }^{0}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} \sin^{2}\sqrt{x^2+y^2}}dy\)
mamaka85
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 04 сен 2014, 21:59

Re: Полярные координаты

Сообщение mamaka85 » 05 сен 2014, 00:09

перейти к полярным координатам у меня получается что r 0..1 угол от pi..2pi
Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1497
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Полярные координаты

Сообщение Добрый Волк » 05 сен 2014, 00:10

mamaka85 писал(а):перейти к полярным координатам у меня получается что r 0..1 угол от pi..2pi
Верно получается.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
mamaka85
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 04 сен 2014, 21:59

Re: Полярные координаты

Сообщение mamaka85 » 05 сен 2014, 00:18

но сам интеграл будет\(\int_{pi}^{2pi}\int_{0}^{1}\frac{rdr}{\sqrt{2rr}*sin^2(2rr))}=\int_{pi}^{2pi}-ctg(1)+ctg(0)\)
Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1497
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Полярные координаты

Сообщение Добрый Волк » 05 сен 2014, 11:09

Насчет формальной стороны ваших преобразований: они у вас почти верны. Только я не совсем понимаю, откуда взялось произведение \(rr\) :)

Так как \(r=\sqrt{x^2+y^2}\), то:

\(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} \sin^{2}\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{1}{r \sin^{2}r}\)

Ну, и так как при переходе в поляры мы домножаем на модуль якобиана, т.е. на \(r\) в данном случае, то выражение под интегралом примет вид:

\(\frac{1}{r \sin^{2}r}\cdot r=\frac{1}{\sin^2r}\)

Теперь по сути: мне кажется, в условии ошибка. Дело в том, что точка \((0;0)\) принадлежит рассматриваемой области, однако подынтегральная функция в этой точке не определена. Полагаю, что условие требует уточнения.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
mamaka85
Сообщения: 22
Зарегистрирован: 04 сен 2014, 21:59

Re: Полярные координаты

Сообщение mamaka85 » 06 сен 2014, 09:56

поняла ошибку.а насчет я так и поняла что условие не совсем верно
Ответить

Вернуться в «Двойные и тройные интегралы»