Область определения

Область определения, частные производные. Градиент и производная по направлению. Экстремумы. Касательная плоскость и нормаль.
Bolshoj
Сообщения: 8
Зарегистрирован: 01 фев 2014, 13:08

Область определения

Сообщение Bolshoj »

Можете помочь с домашкой? я не очень в этом понимаю, нам задали такой пример:
Найти область определения функции z=5ln(x+3y)+2\корень(4-x^2). Там вроде нарисовать надо и не получается
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1639
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Область определения

Сообщение Алексей »

Можем помочь, отчего же нет? :) Насколько я понимаю, условие там таково: \(z=5\ln(x+3y)+\frac{2}{\sqrt{4-x^2}}\). Здесь есть три ограничения. Во-первых, выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля, т.е. \(x+3y>0\). Далее, выражение под корнем, т.е. \(4-x^2\) должно быть неотрицательным (ибо корень квадратный), ну и, кроме того, не должно равняться нулю (так как корень в знаменателе). Вот если Вы все эти три условия в систему запишете, то это первым шагом будет.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Bolshoj
Сообщения: 8
Зарегистрирован: 01 фев 2014, 13:08

Re: Область определения

Сообщение Bolshoj »

Ну вроде получилось.

x+3y>0
4-x^2>=0
4-x^2 не равен нулю

А как у вас получается набрать формулами?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1639
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Область определения

Сообщение Алексей »

Для формул есть визуальный редактор. Когда набираете сообщение, можно нажать кнопку Запустить редактор формул, а там уже набираете. Система неравенств станет такой:

\(\left\{ \begin{aligned} x+3y>0;\\ 4-x^2 \geqslant 0; \\ 4-x^2 \neq 0. \end{aligned} \right.\)

Вместо второго и третьего условий можно записать одно. Если какая-то величина больше либо равна нулю и одновременно не равняется нулю, то это значит, что оная величина просто больше нуля. Т.е., второе и третье условия можно свести воедино: \(4-x^2>0\). По сути, вам остаётся только решить это неравенство. Потом уже можно переходить к рисункам.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Bolshoj
Сообщения: 8
Зарегистрирован: 01 фев 2014, 13:08

Re: Область определения

Сообщение Bolshoj »

Ок спасибо. Попробую сделать формулой. С неравенством вроде получилось

\(-x^2>- 4, x^2<4, x<2\)
Правильно?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1639
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Область определения

Сообщение Алексей »

Насчёт правильности скажу так: наполовину верно :) . Неравенства вида \(x^2<a^2\), где \(a>0\), равносильны двойному неравенству \(-a<x<a\). Т.е., в вашем случае \(-2<x<2\). Т.е., область определения состоит из двух условий:

\(\left\{ \begin{aligned} x+3y>0;\\ -2<x<2. \end{aligned} \right.\)
Хотя, честно говоря, можно было оставить и неравенство \(4-x^2>0\). Проблема тут в построении чертежа, а для чертежа удобнее работать с неравенством \(4-x^2>0\) в форме \(-2<x<2\).

Теперь остаётся лишь построить область, удовлетворяющую этой системе неравенств.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Bolshoj
Сообщения: 8
Зарегистрирован: 01 фев 2014, 13:08

Re: Область определения

Сообщение Bolshoj »

Спасибо. У меня в лекции похожий есть :) там графики простые и неравенства почти такие же
Ответить