Нaибoльшee и нaименьшее знaчeния фyнкции

Область определения, частные производные. Градиент и производная по направлению. Исследование на экстремум. Касательная плоскость и нормаль.
Juliya2405
Сообщения: 4
Зарегистрирован: 24 май 2015, 10:08

Нaибoльшee и нaименьшее знaчeния фyнкции

Сообщение Juliya2405 » 24 май 2015, 10:15

Можете такое решить, сделав мне подарок на ДР: Найти нaибoльшee и нaименьшее знaчeния фyнкции Z=(X, Y) в области (D) , oгрaниченной задaнными линиями. Решала как у Вас на сайте, получила ответ, но он отличается от ответа в wolframalpha. Поможете, какой ответ должен быть? Заранее спасибо! Если нужно, переведу деньги на телефон, так как нет рядом банкомата и веб-кошелька нет вообще.
\(\mathbb{Z}=X^{2}- 2XY-Y^{2}+4X+1\)
\(\left ( D \right ):X=-3, Y=0, X+Y+1=0\)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1527
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Нaибoльшee и нaименьшее знaчeния фyнкции

Сообщение Добрый Волк » 24 май 2015, 11:02

Приветствую на форуме :) Попробую вкратце описать решение.

Рисунок к задаче имеет вид:

Отправка.png
Отправка.png (6.41 КБ) 8588 просмотров

Находим стационарные точки внутри области:

\(z'_x=2x-2y+4;\; z'_y=-2x-2y;\; \left\{\begin{aligned} & 2x-2y=-4;\\&-2x-2y=0. \end{aligned} \right.
\left\{\begin{aligned} & x-y=-2;\\&-x-y=0. \end{aligned} \right.\)

После решения этой системы имеем точку \((-1;1)\), которая не принадлежит области \(D\).

На границе:
  1. \(y=0;\; -3\leqslant{x} \leqslant-1;\; z=x^2+4x+1;\; z'_{x}=2x+4; \; 2x+4=0;\; x=-2\). Имеем точку \(M_4(-2;0)\). На краях отрезка точки \(M_1\) и \(M_2\).
  2. \(y=-x-1;\; -3\leqslant x\leqslant -1;\; z=2x^2+4x;\; z'_{x}=4x+4; \; 4x+4=0;\; x=-1\). Имеем точки \(M_1\) и \(M_2\).
  3. \(x=-3;\; 0\leqslant y\leqslant 2;\; z=-y^2+6y-2;\; z'_{y}=-2y+6; \; -2y+6=0;\; y=3\). Значение \(y=3\) не попадает в рассматриваемый интервал. На краях отрезка точки \(M_1\) и \(M_3\).
Всего 4 точки, в которых требуется найти значения функции:

\(z(M_1)=-2; \; z(M_2)=-2; \; z(M_3)=6; z(M_4)=-3\).

Соответственно, наименьшее значение \(z_{\min}=-3\), \(z_{\max}=6\).

Писалось на скорую руку, поэтому проверка необходима :)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Функции двух переменных»