производная

Область определения, частные производные. Градиент и производная по направлению. Экстремумы. Касательная плоскость и нормаль.
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

производная

Сообщение Anuto4ka »

можно снова вопрос? :) дали домашку найти производную функции двух переменных z=3x^2y^3+4sinxy+10x-y+2. можете объяснить как это делается? я с пары ничего не поняла :(
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1624
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: производная

Сообщение Алексей »

Конечно можно, отчего же нет :) Только сначала вопрос будет у меня: Ваша функция имеет такой вид или нет: \(z=3x^2y^3+4\sin(xy)+10x-y+2\)?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: производная

Сообщение Anuto4ka »

Точно, я про скобки забыла :oops: там условие было найти производные первого порядка.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1624
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: производная

Сообщение Алексей »

Ну, с этим разобрались :) Теперь поговорим о производной. Суть частных производных, если коротко, в следующем правиле: когда берётся производная по одной переменной, то все остальные переменные полагаются константами. Т.е., грубо говоря, если берётся производная по переменной \(x\), то со всеми остальными переменными работают, как с обычными числами.

Для примера покажу начало нахождения производной по \(x\). Итак, нам надо найти такую производную:

\(\frac{\partial z}{\partial x}=(3x^2y^3+4\sin(xy)+10x-y+2)_{x}^{'}\)

Мы берём производную по переменной \(x\), поэтому с переменной \(y\) работаем, как с обычной константой. Для начала разобьём одну производную на пять:

\((3x^2y^3+4\sin(xy)+10x-y+2)_{x}^{'}=(3x^2y^3)_{x}^{'}+(4\sin(xy))_{x}^{'}+(10x)_{x}^{'}-(y)_{x}^{'}+(2)_{x}^{'}\)

Теперь поработаем с каждым выражением по отдельности. Начнём с \((3x^2y^3)_{x}^{'}\). Всё, что не содержит \(x\) (т.е., \(3y^3\)) - это константы. Вынесем их за знак производной: \((3x^2y^3)_{x}^{'}=3y^3(x^2)_{x}^{'}\). Теперь, так как \((x^2)_{x}^{'}=2x\), то \(3y^3(x^2)_{x}^{'}=3y^3\cdot 2x=6y^3x\). С первым слагаемым справились: \((3x^2y^3)_{x}^{'}=3y^3\cdot 2x=6y^3x\). А дальше нужно поработать с остальными слагаемыми. Попробуйте с ними разобраться по аналогии.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: производная

Сообщение Anuto4ka »

трудно получается. Вроде разобралась с (10х)'=10. если у постоянная, то получается (y)'=0 и (2)'=0.

а с sin(xy) не очень... по таблице там написан cos но как его подставить?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1624
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: производная

Сообщение Алексей »

Ну, с синусом дело поправимое :) В таблице производных есть формула \((\sin u)'=\cos u\cdot u'\). Вот вместо \(u\) в эту формулу пойдёт \(xy\). Тогда получится следующее: \((\sin (xy))'=\cos(xy)\cdot (xy)'\). А так как \((xy)_{x}^{'}=y\cdot(x)_{x}^{'}=y\cdot 1=y\), то \((\sin (xy))'=\cos(xy)\cdot y=y\cos(xy)\).

Ну, и если всё это дело собрать воедино, то будет готова первая половина вашей задачи:

\(\frac{\partial z}{\partial x}=6xy^3+4y\cos(xy)+10\)

Останется производная по переменной \(y\). Теперь уже \(y\) будет переменной, а \(x\) - постоянной.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: производная

Сообщение Anuto4ka »

Так. я попробовала найти. только не смейтесь когда читать будете :) попробовала набрать формулой. там производная по y

\((3x^2y^3)'=3x^2*3y^2=9x^2y^2\)
\((sin(xy))'=xcos(xy)\)

там дальше нули и производная от у (1 да?). короче вышло так:

\(9x^2y^2+4xcos(xy)-1\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1624
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: производная

Сообщение Алексей »

Чего же смеяться? Всё нормально :) И производную по \(y\) вы нашли правильно. А формулы в latex действительно лучше смотрятся, чем набранные "просто так" ;) Если будете работать дальше по математической линии, то пригодится.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Anuto4ka
Сообщения: 24
Зарегистрирован: 20 янв 2014, 21:48

Re: производная

Сообщение Anuto4ka »

Спасибо :) наврядли я буду работать по математике :) но к вам еще обращусь :)
Ответить