частные производные

Область определения, частные производные. Градиент и производная по направлению. Исследование на экстремум. Касательная плоскость и нормаль.
stepanoff21
Сообщения: 2
Зарегистрирован: 27 апр 2016, 13:16

частные производные

Сообщение stepanoff21 » 27 апр 2016, 13:42

Здравствуйте! Не могли бы мне помочь с частными производными?
Буду очень благодарен!

1. Найти частные производные первого порядка функции

z = x/(3y-2x)

2. Найти частные производные второго порядка функции

z = x^2/(1-2y)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1534
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: частные производные

Сообщение Добрый Волк » 28 апр 2016, 11:37

Когда вы ищете производную по одной переменной, то все иные полагаются просто константами. Например, если вы находите производную по х, то у полагается некоей постоянной величиной. И работать с ней нужно соответственно.

Например, найдём производную функции \(z=\frac{x}{3y-2x}\) по переменной x. Есть стандартная формула \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\) из таблицы производных, которую и станем использовать:

\(z_{x}^{'}=\frac{(x)_{x}^{'}\cdot(3y-2x)-x\cdot(3y-2x)_{x}^{'}}{(3y-2x)^2}\)

Производная от х по х равна 1, т.е. \((x)_{x}^{'}=1\). А производную \((3y-2x)_{x}^{'}\) разложим по формуле производной разности:

\((3y-2x)_{x}^{'}=(3y)_{x}^{'}-(2x)_{x}^{'}\)

Мы берём производную по переменной x, поэтому 3y - константа. Производная константы равна нулю, следовательно \((3y)_{x}^{'}=0\). Далее, \((2x)_{x}^{'}=2\cdot(x)_{x}^{'}=2\cdot 1=2\). Итак, \((3y-2x)_{x}^{'}=0-2=-2\). Возвращаясь к производной \(z_{x}^{'}\), будем иметь:

\(z_{x}^{'}=\frac{(x)_{x}^{'}\cdot(3y-2x)-x\cdot(3y-2x)_{x}^{'}}{(3y-2x)^2}=\frac{1\cdot(3y-2x)-x\cdot(-2)}{(3y-2x)^2}\)

Остаётся просто раскрыть скобки в числителе и упростить выражение. Производная по y находится аналогично.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

stepanoff21
Сообщения: 2
Зарегистрирован: 27 апр 2016, 13:16

Re: частные производные

Сообщение stepanoff21 » 28 апр 2016, 16:23

Спасибо большое!

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1534
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: частные производные

Сообщение Добрый Волк » 28 апр 2016, 20:12

Пожалуйста :) Надеюсь, материал помог.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Функции двух переменных»